これも前にリンクをつけた問題と解答例？です。
「円を直線で分割」
点の隣に点がある
ということはありえない
２つの点は
重なるか離れているかのどちらかである
離れている２点の間には
無限の点があり
無限の直線を引くことが出来る
ゆえに
交点の重なりは
直線の位置か角度（傾き）を、微小なだけ、
ずらすことによって避けられる。
問題１：（高校レベル？）
円の中にｎ本の直線を引くことによって
分割される領域数の最大値を求めなさい。
解答例１：
円の中に平行でもなく交点も重ならないｎ本の
直線を引くことは可能である。その場合のみ
交点数は最大となり、領域数も最大となる。
Ｃを組合せ記号として
２本の直線が１個の交点を作るので
ｎ本の直線の交点数＝ｎＣ２＝ｎ（ｎ－１）／２
ｎ本目の直線で増える交点数は ｎＣ２－（ｎ－１）Ｃ２
＝ｎ（ｎ－１）／２－（ｎ－１）（ｎ－２）／２
＝（ｎ－１）個ということになる。
つまりｎ本目の直線は、最大において、
既に引かれてある（ｎ－１）本の直線全部と交わるということ。
これらの（ｎ－１）個の交点は
ｎ本目の直線上にあり
ｎ本目の直線をｎ本の線分に分ける。
分けられたｎ本の線分がそれぞれ
既に（ｎ－１）本の直線によって分割された領域のうちの
ｎ個の領域を２分割する。
したがってｎ本目の直線を引くことによって
増える領域の数はｎ個ということになる。
ここでｎ本の直線によって分割される領域数を
Ａ（ｎ）とすると、Ａ（１）＝２，Ａ（２）＝４、
Ａ（ｎ）－Ａ（ｎ－１）＝ｎ が成り立つ。
・・・・・・・・・・・・・
Ａ（２）－Ａ（１）＝２
これらを足すと左辺の中間は相殺され、
「円を直線で分割」
点の隣に点がある
ということはありえない
２つの点は
重なるか離れているかのどちらかである
離れている２点の間には
無限の点があり
無限の直線を引くことが出来る
ゆえに
交点の重なりは
直線の位置か角度（傾き）を、微小なだけ、
ずらすことによって避けられる。
問題１：（高校レベル？）
円の中にｎ本の直線を引くことによって
分割される領域数の最大値を求めなさい。
解答例１：
円の中に平行でもなく交点も重ならないｎ本の
直線を引くことは可能である。その場合のみ
交点数は最大となり、領域数も最大となる。
Ｃを組合せ記号として
２本の直線が１個の交点を作るので
ｎ本の直線の交点数＝ｎＣ２＝ｎ（ｎ－１）／２
ｎ本目の直線で増える交点数は ｎＣ２－（ｎ－１）Ｃ２
＝ｎ（ｎ－１）／２－（ｎ－１）（ｎ－２）／２
＝（ｎ－１）個ということになる。
つまりｎ本目の直線は、最大において、
既に引かれてある（ｎ－１）本の直線全部と交わるということ。
これらの（ｎ－１）個の交点は
ｎ本目の直線上にあり
ｎ本目の直線をｎ本の線分に分ける。
分けられたｎ本の線分がそれぞれ
既に（ｎ－１）本の直線によって分割された領域のうちの
ｎ個の領域を２分割する。
したがってｎ本目の直線を引くことによって
増える領域の数はｎ個ということになる。
ここでｎ本の直線によって分割される領域数を
Ａ（ｎ）とすると、Ａ（１）＝２，Ａ（２）＝４、
Ａ（ｎ）－Ａ（ｎ－１）＝ｎ が成り立つ。
・・・・・・・・・・・・・
Ａ（２）－Ａ（１）＝２
これらを足すと左辺の中間は相殺され、
Ａ（ｎ）－Ａ（１）＝２＋３＋・・・＋ｎ
Ａ（ｎ）－２＝（１＋２＋３＋・・・＋ｎ ）－１
＝（ｎ（ｎ＋１）／２）－１
∴ Ａ（ｎ）＝（ｎ（ｎ＋１）／２）＋１ ・・・（答え？）
※ 平行や交点の重なりがあった場合は、
ｎ本目以内のどこかで交点数の増分が減るので
領域数も減り最大にならない。
（２０１０年０７月０６日）
（微小な重なりについて、いまいち、すっきりしない感じです。
間違っていたら、コメントか御一報いただければ幸いです。）
＝（ｎ（ｎ＋１）／２）－１
∴ Ａ（ｎ）＝（ｎ（ｎ＋１）／２）＋１ ・・・（答え？）
※ 平行や交点の重なりがあった場合は、
ｎ本目以内のどこかで交点数の増分が減るので
領域数も減り最大にならない。
（２０１０年０７月０６日）
（微小な重なりについて、いまいち、すっきりしない感じです。
間違っていたら、コメントか御一報いただければ幸いです。）
------------------------------------------
シグマ
「堯
を書いたら文字化けした・・・？
コメント