これも前にリンクつけた問題と解答例です。
　
　　　「輪ゴムを立方体に」
　
　
　一般化すると
　便利で有意義になることがあります。
　一般化すると
　何が何だか分からなくなることがあります。
　個別化すると
　伝えやすくなることがあります。
　個別化すると
　全然通じなくて伝わらないことがあります。
　
問題：（テレビより）（高校レベル？）
ｎ本の輪ゴムを立方体に巻くとき
直角に交わる輪ゴムの交点数の最大値を求めなさい。
またｎ＝１０^ｍ本の場合の交点数最大値を求めなさい。
　
解答例：
ｎ＝ａ＋ｂ＋ｃ本として
ａ，ｂ，ｃ本をそれぞれ３つの異なる方向に巻く。
a本とｂ本が交わる交点の数はａ×ｂである。
同じ数の交点は裏の面にも出来るので２ａｂとなる。
同様にして２ｂｃ、２ｃａの交点が出来る。
それらを足し、さらに相加平均≧相乗平均を用いて
２ａｂ＋２ｂｃ＋２ｃａ≦２ａ^２＋２ｂ^２＋２ｃ^２
等号はａ＝ｂ＝ｃのとき、これをｐと置く。
ｎ＝３ｐ、ｐ＝ｎ／３、交点数最大値は６ｐ^２となる。
１．ｎが３の倍数、ｎ＝３ｍの（ｍ＝ｎ／３）とき
　ｐ＝ｍなので交点数最大値は６ｐ^２＝６ｍ^２
　　　　　　　　　　　　＝（２／３）ｎ^２
２．ｎ＝３ｍ＋１　（ｍ＝（ｎ－１）／３）　のとき
　ｐ＝（３ｍ＋１）／３
　交点数最大値は６ｐ^２に上式を代入して、
　そこから最大整数を求め、さらに整理すると
　６ｍ^２＋４ｍ＝（２／３）（ｎ^２－１）
　　　　　　＝（２／３）（ｎ＋１）（ｎ－１）
　これはａ、ｂ、ｃをｍ、ｍ、ｍ＋１本
　としたときの値に等しい。
３．ｎ＝３ｍ＋２　（ｍ＝（ｎ－２）／３）　のとき
　ｐ＝（３ｍ＋２）／３
　交点数最大値は６ｐ^２に上の式を代入して、
　そこから最大整数を求め、さらに整理すると
　６ｍ^２＋８ｍ＋２＝（２／３）（ｎ^２－１）
　　　　　　　　　　　＝（２／３）（ｎ＋１）（ｎ－１）
　これはａ、ｂ、ｃをｍ、ｍ＋１、ｍ＋１本
　としたときの値に等しい。
したがって
答えとして交点数最大値は
ｎが３の倍数のとき　（２／３）ｎ^２
それ以外の場合は　（２／３）（ｎ^２－１）
　　　　　　　　　　　＝（２／３）（ｎ＋１）（ｎ－１）
ということになる。
さて
ｎ＝１０^ｍ本の場合は
上の式に代入して（２／３）（１０^２ｍ－１）
これは（２／３）×（９９・・・９、９が２ｍ桁並ぶ数）
　　　　　＝６６・・・６　（６が２ｍ桁並ぶ数）
ということになる。
　
例えば１００本の輪ゴムを立方体に巻くときは
１００＝１０^２だから２ｍ＝４桁となり
交点数最大値＝６６６６
ということになる。
　
（２０１０年０３月０１日）
 
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