この世は三角
 トライアングル
 トリニティよ
 高さは半径に
 底辺は円周に
 円は
 三角形の最も美しい姿だ
 
円周率πを高校レベルの数学で求めようとするなら
円に内接する正n角形の面積と
円に外接する正n角形の面積で
円の面積を挟みつけることしか今のところ思いつかない。
 
半径1の円に外接・内接する正24角形
の面積から円周率 π の近似値を
求めてみたことがあります。
イメージ 1

外接24角形を求めるとき、
 
 角度15度の三角関数は(45-30)から
 加法定理を用いて、また
 
tanθ=(1-cos2θ)/sin2θなどより、
 
 tan7.5°=(√3-√2)(√2-1)
 
と割と綺麗な形になったので、それを使いました。
 
 3√2(√3-1)< π <24(√3-√2)(√2-1)
 
という結果を得ました。
 
電卓(8桁なので不正確ですが)で計算すると
 
3.1058 < π < 3.1597
 
  ∴ 3.1< π <3.16
 
つまり、π≒3.1 までは正しいということになります。
ちなみに、不正確ですが、内接正192角形まで計算して
ようやく3.14まで出てきました。
 
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 tan7.5°について
 二重√について
 分かっているつもりの範囲で
 ・・・何も分かっちゃいないけれど・・・
 復習してみます・・・
 
 
 「 tan7.5°と二重√ について」
 
 復習として「πを24角形で近似」の
 tan7.5°に補足します。
一般に加法定理(倍角定理)より一次化が可能。
(sinθ)^2 を、ここでは sin^2 θ と表すことにする。
 sin^2 θ=(1-cos2θ)/2
 cos^2 θ=(1+cos2θ)/2
0°<θ<45°の範囲で考えると
 sinθ=√((1-cos2θ)/2 )
 cosθ=√((1+cos2θ)/2 )
∴tanθ=√((1-cos2θ)/(1+cos2θ) )――――①
また tanθ=(1-cos2θ)/sin2θとも。――――――②
(∵①の分母子に √(1-cos2θ) を掛ける。
 または検算として
 ②の右辺=(1-(1-2sin^2 θ)/2sinθcosθ
 =2sin^2 θ/2sinθcosθ=sinθ/cosθ
 =tanθ=左辺 )
そこで、まず加法定理より
 sin15°=sin(45-30)=(√6-√2)/4 ───③
 cos15°=cos(45-30)=(√6+√2)/4 ───③
 
ゆえに②③を用いて
 tan7.5°=(1-cos15°)/sin15°
 =(1-(√6+√2)/4)/(√6-√2)/4
 =(4-√6-√2)/(√6-√2)
(分母子に(√6+√2)を掛けて)
 =(4-√6-√2)(√6+√2)/4 ――――――――――④
 =(4√6-6-2√3+4√2-2√3-2)/4
 =(4√6-4√3+4√2-8)/4
 =√6-√3+√2-2
 =√3(√2-1)+√2(1-√2)
 =√3(√2-1)-√2(√2-1)
 =(√3-√2)(√2-1) 
 tan7.5°=(√3-√2)(√2-1) ・・・・・・・(答え)
 
①③を用いると
 tan7.5°=√((1-cos15°)/(1+cos15°))
=√((1-(√6+√2)/4)/(1+(√6+√2)/4))
=√((4-(√6+√2)/(4+(√6+√2) )
(分母子に(4-(√6+√2)を掛けて)
=√((4-(√6+√2))^2/(16-(√6+√2)^2))
=(4-(√6+√2))/√(16-8-4√3)
=(4-√6-√2)/√(8-4√3)―――――――――⑤
=(4-√6-√2)/(√6-√2)――――――――――⑤
(分母子に(√6+√2)を掛けて)
=(4-√6-√2)(√6+√2)/4
ここからの計算は④と同じになる。よって同じく
 tan7.5°=(√3-√2)(√2-1) ・・・・・・・(答え)
 
※ ここで⑤の分母において
 二重√を外していることについて説明(?):
一般に √(A±√B)=√Ⅹ±√Yとして
Ⅹを求めることによって得られる恒等式
 √(A±√B)=√((A+√(A^2-B))/2)
         ±√((A-√(A^2-B))/2)―――⑥
において(A^2-B)が平方数であるなら
√(A^2-B)は整数になるので、これをCとおくと
√(A±√B)=√((A+C)/2)±√((A-C)/2)―――⑥
というふうに二重√を外すことができる。
⑤においては
√(8-4√3)のA=8,B=16×3=48だから
∴A^2-B=64-48=16=4^2と
平方数になり√(A^2-B)=4=Cであるから
⑥に当てはめると
√(8-4√3)=√((8+4)/2)-√(8-4)/2)
 =√6-√2 ということになりました。

※ なお⑤の、二重√については、
√(8-4√3)=√(8-2√12)として
足して8、掛けて12になる2つの数は、6と2なので、
上の式=√((√6ー√2)^2)=√6-√2
という方法のほうが一般的なようです。
 
(2008年06月18日・・・に若干加筆)