数字根について・・・
前の記事に加筆しようとしたら、5000文字オーバーのメッセージが出たので、
あれは、これ以上一つの記事に書けないという意味なんだろうな・・・よく分からん。
ともかくも稿を改めましたが、前の記事の続きにすぎないのです・・・。
 
ひと休みして、といっても趣味で疲れて一休みして、どうなるんだよ
・・・という感もあるが、睡眠も取って、やっぱり気になるのは
ウィキペディアの数字根の残った問題だ・・・数学の専門家でもないし、
そういうレベルの問題でもないのに、取り憑かれたか・・・
最初は全然分からなかったのだが、苦し紛れに考えてみた。
 
問題:
6以外の完全数の数字根は、1である。
 
解答例?:
「完全数」の記事
http://blogs.yahoo.co.jp/st5402jp/7139463.html
より、完全数の一般式は、
 
  2^(n-1)×(2^n-1)
(ただし、(2^n-1)が素数のとき)
 
ここで、前の問題が参考になる。
3以外の素数の数字根は、1,2,4,5,7,8、のいずれかである。
2^nの数字根は、1,2,4,5,7,8、のいずれかである。
つまり、どちらも、3,6,9、にはならない。―――――――――③
 
 2^(n-1)=A とおくと、nの任意性より
Aの数字根 (dr(A)と書く。digital root の略) は、
 1,2,4,5,7,8、のいずれかである。
 
完全数の一般式全体は、A(2A-1) ということになる。
ここで、dr(A(2A-1))
 =dr(dr(A)×dr(2A-1))
 =dr(dr(A)×dr(2×dr(A)-1))
つまり掛け算、足し算、引き算は、前に書いたように
(9m+a)の計算と,(9m+a)≡a (mod 9)
すなわち、dr(9m+a)=a ということで、
計算する数値とプロセスと結果のそれぞれの数字根が同じになる。
(これは、かなり大雑把な言い方だが・・・)
 
dr(A)dr(素数:2A-1) dr(完全数:A(2A-1))
 1  ×  1        →   1
 2     3(③より不成立)
 4  ×  7        → (28→10→)1
 5     9(③より不成立)
 7  × (13→)4    → (28→10→)1
 8    (15→)6(③より不成立)
以上より、可能なAの数字根から
成立しうる完全数の数字根は、1である。
 
問題:
三角数の数字根は、1,3,6,9、である。
 
解答例:
三角数というのは下図のように三角形に並べた●の数、
つまりn段目までの和であり、
1+2+・・・+n=n(n+1)/2 のことらしい。
 
   ●
  ● ●
 ● ● ●
● ● ● ●
 
ここでは、すべての整数一般を (整数m≧0)
 
(1)奇数:18m+2p-1、(2)偶数:18m+2p
    (pは、1,2、・・・、9)で表す。
(これで、すべての整数(18m+1)から(18m+18)を
表せると思う。)
 
(1)の場合 三角数=n(n+1)/2
  =(18m+2p-1)(18m+2p)/2
  =(18m+2p-1)(9m+p)
  =9(18m^2+2mp+(2p-1)m)+p(2p-1)
   ≡ p(2p-1) (mod 9)
 ∴(三角数の数字根)=dr(p(2p-1))
 
(2)の場合 同様に、三角数=n(n+1)/2
  =(18m+2p)(18m+2p+1)/2
  =(9m+p)(18m+2p+1)
  =9(18m^2+m(2p+1)+2mp)+p(2p+1)
   ≡ p(2p+1) (mod 9)
 ∴(三角数の数字根)=dr(p(2p+1))
 
p dr(p(2p-1)) dr(p(2p+1))
1      1           3
2  (2・3=)6     (2・5=10→)1
3 (3・5=15→)6   (3・7=21→)3
4 (4・7=28→)1   (4・9=36→)9
5 (5・9=45→)9  (5・11=55→)1
6 (6・11=66→)3 (6・13→24→)6
7 (7・13→28→)1 (7・15→42→)6
8 (8・15→48→)3 (8・17→64→)1
9 (9・17→72→)9 (9・19→90→)9
 
※ 例えば9×17=153とせずに→72としているのは、
数字根を求める計算においては、前に述べたように、
「→」部分のように、数字根にして計算してよいからである。
 9×17→9×(1+7)=9×8=72→7+2=9
 
以上より、三角数:n(n+1)/2の数字根は、
   1,3,6,9、である。
 
(2011年04月14日)
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もっと簡単な方法があるのかもしれないが、
最近になって教えてもらって知った数字根というものについて、
相変わらず私らしく、今回は少ししつこく、追い続けているようです。
ひと休みして、何を始めるかと思ったら、・・・
やっぱり数学か・・・ポエムも書きたいのだが、
モチーフとモチベーション待ち・・・しかないようだ。
 
何だか、たかが数学で、少しずつ分かった気分になったりで、
加筆修正を重ねて、前と合わせると、長い長い記事になってしまいました・・・。
 
強い余震が続いていますね。SNSで、
ラジオのリスナーが急に「ごめんなさい・・・」
DJが聞くと「地震です」、そして速報・警報・避難とか、
聞きました。リアル(タイム)過ぎて、・・・!!