数学サイト
http://blog.livedoor.jp/mazra627/
より
 
第128回「鍵」
問題
 
A、B、Cの3本の鍵で開く箱があるとすると、
長男がAとB、次男がAとC、三男がBとC、というように鍵を持つと、
そのうちの二人が集まって、協力すれば、箱を開けることができますよね。
 
では、4人兄弟が何個かずつの鍵を持ち、
3人以上でないと、開かないようにするには、
錠前は何個必要で、4人の兄弟は、鍵をどのように持てばいいでしょうか?
 
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解答例:
 
4人兄弟をP,Q,R,Sとする。
鍵をA,B,C,・・・とする。
鍵のほうから考えてみる。
1つの鍵を一人しか持たない場合、
残りの3人では鍵が揃わない。
1つの鍵を3人が持つ場合、
 
  P Q R S
A ● ● ●
B ● ●   ●
C ●   ● ●
D   ● ● ●
2人で鍵が揃ってしまう。
 
したがって
1つの鍵を持つ人数は2人である。
2人が鍵を持つ組み合わせは
4C2=4×3/2=6通りだから、
 
  P Q R S
A ● ● ○ ○
B ● ○ ● ○
C ● ○ ○ ●
D ○ ● ● ○
E ○ ● ○ ●
F ○ ○ ● ●
 
これで、
2人では6つの鍵は揃わず、
3人で6つの鍵が揃う。
即ち
錠前は6個必要であり、
4人が持つ鍵は、1人に3個ずつ、それぞれ、
ABC,ADE,BDF,CEFとなる。
 
(2011年04月17日)
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錠前が5つでは、例えばFを除外すると
PとQで鍵が揃う場合など、不都合が出てきます。
そういう場合が1つでも出てきたら不正解で、
また、鍵の組み合わせは、
6C3=20通りありますが、
他の組合せでは、2人で揃ったり、
3人でも揃わなかったりする場合が出てくるので、
必要十分な鍵の組み合わせは、
鍵の名前を入れ替えたりしなければ、
上の4通りの1パターンだと思うのですが(・・・?)
 
明日、自己ポイントもらいます。
更新でも修正でも書ける間は書いた記事の分だけ
ポイントもらおうとする私という男は実に小さいです・・・