数学サイト
http://blog.livedoor.jp/mazra627/
より
 
問題:ビリヤード?
 
横7、縦6の長さの長方形の
左下の頂点から45°の角度で
球を発射したとき、入射角=反射角で、
球が頂点のポケットに入るまで
何回跳ね返るでしょうか。
 
イメージ 1
 
発射角が45°なので
長方形を横と縦に並べて
正方形を作ればよい。
7と6は互いに素だから、
正方形の一辺は最小公倍数の
7×6=42となる。
横に6個、縦に7個
計42個を並べることになる。
 
イメージ 2
 
正方形の中に縦に5本、横に6本の
格子線が出来る。それらと
球の直線軌道が交わる。
その軌道と格子線との交点が
球が長方形の中で跳ね返る軌道と回数に
投影される。
 
イメージ 6

左下から発射した球は45°だから
大きい正方形の対角線として進み、
すべての横と縦の格子線と交わるが、
途中の格子点は正方形をつくらないので、
大きい正方形の右上の頂点に達するまで
格子点と交わることはない。
∴跳ね返る回数は5+6=11(答え?)

正方形では右上の頂点に達するが、
元の長方形が正方形の中では上下左右に裏返り対称になることがあるので
元の長方形の右上の頂点ポケットに達するとは限らない。
 
イメージ 3

より一般的に
横m:縦nの長方形を考えて、
発射角度が、
横:縦=p:nとすると
(整数p<m、mとpは互いに素)
入射角=反射角で、反射回数を求めるには、
 
イメージ 4

a、bを整数として、
横にa倍、縦にb倍した長方形が
p:nになればよい。
ma:nb=p:n
∴man=nbp
∴ma=bp
mとpは互いに素だから、
mとpの最小公倍数mpになる。
a=p,b=m、つまり
大きな長方形の
横の長さ=mp、縦の長さ=nm、となる。
大きな長方形の中には
縦に(p-1)本、
横に(m-1)本の格子線が出来る。
球はこの格子線と交わって
大きな長方形の右上に達する。
∴(p-1+m-1)=(p+m-2)個の
交点が出来て、これが
球が反射する回数となる。
問題ではp=nなので、p+m-2
=m+n-2=7+6-2=11(答え?)
イメージ 5

 (2011年04月25日)
 (2011年04月26日、加筆修正)
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また、数学つまみ食いに走って(逃げて?)おります。