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からの問題
 
第133回「長文読解」
深い森の奥に妖精の村がありました。
妖精は皆、赤色か青色の帽子をかぶっています。
 
しかし、村に何人住んでいるか、赤と青の帽子が何人いるか、
自分の帽子が何色か無関心に暮らしていました。
その上、他人の帽子の色には触れてはならない掟があったのです。
 
しかし、自分の帽子の色がわかるときがきました。
百年に一度、青い帽子をかぶった妖精しか参加できない祭りの開催です。
誰も自分の帽子の色を知らないので、知らないうちは、祭りに参加出来ます。
 
しかし、もし自分が赤い帽子だと分かったら最後、翌日からの参加は出来ないのです。
初日は、妖精全員が参加しました。集まった妖精は全部で、400人でした。
みんな密かに赤い帽子青い帽子が何人いるか数えてみました。
でも掟のため、話題にできません。
 
妖精たちは、自分の推理で自分の帽子の色を判断しなければならないのです。
じつは、この祭りの初日には青い帽子の妖精が、200人。
赤い帽子の妖精が、200人参加していました。
もちろん、妖精たちは、自分以外の帽子の内訳しか分かっていません。
では、赤い帽子の妖精が祭りからいなくなるまで何日間かかるでしょうか?
 
 
解答例1:
 
(200人の)赤はそれぞれ、赤199人を見る。
赤は199人か200人だが、自分の色は分からない。
「自分が青ならば赤199人:仮定1回目」と考える。
(あとは他者の論理的推理をも考えるということで(汗)、
 (他の)赤はどう考えるかを考えてゆく。)
その仮定の上で
199人の赤はそれぞれ赤198人を見るはず。
その198人について、199人がそれぞれ
「自分が青ならば赤198人:仮定2回目」
と考えると考えると、
その198人の赤はそれぞれ赤197人を見るはず。
その197人について、198人がそれぞれ
「自分が青ならば赤197人:仮定3回目」
と考えると考えると考えると
197人の赤はそれぞれ赤196人を見るはず。
その196人について・・・
・・・
・・・
(「自分が青ならば」という仮定で
こういう引き算が成り立ってしまうのは
自分には赤199人が見えるけれど、
青とも赤とも情報交換は出来ないから
見えている199人の
「赤が自分と同じように見えているとは限らない」からだろう。
自分が青なら、199人の
それぞれの赤は198人の赤しか見えない。
(その赤は自分の色を知らないから)また、それぞれ、
自分が青なら、197人の赤しか見えない。
という繰り返しで仮定が増えて引き算が続く・・・そして)
・・・
・・・
それぞれ「自分が青ならば赤2人:仮定198回目」と・・・
赤2人はそれぞれ赤1人を見る。
それぞれ「自分が青ならば赤1人:仮定199回目」と・・・
赤は2日目に消えるはず。しかし消えない。
仮定199回目は間違い。3日目に消えるはず。
消えない。
仮定198回目は間違い。4日目に消えるはず。
消えない。
・・・
・・・
仮定1回目は間違い。自分が赤。201日目に消える。(答え?)
 
(妖精たちはこの問題が解けるくらい賢いことが条件。)
 
 
解答例2:

こちらのほうがすっきりした解答のようです。
赤の人数を一般的に考える。
 
赤1人なら1日目に周りは青ばかりなので
赤は自分が赤だと分かる。2日目にいなくなる。
赤2人なら1日目に赤1人には赤が1人見える。
自分の色が青だとすれば
2日目に赤は消えると推測。
出てきても消えてないことで、自分は赤だと分かる。
3日目に赤2人が消える。
 
赤k人のとき(k+1)日目に赤が消えると仮定。
 
赤(k+1)人のとき
赤1人は1日目にk人の赤を見る。
自分が青ならば、赤はk人であり、
(k+1)日目に赤はいなくなるから、出てきて待つ。
赤全員そう思って出てくるので
(k+1)日目に赤は消えない。
それによって自分は赤だと知る。
(k+2)=((k+1)+1)日目に
赤は全員消える。(青の数は関係なさそう?)
 
以上より(数学的帰納法)
赤n人のとき(n+1)日目に赤は消える。
赤200人なら、201日目に赤は消える。(答え?)
(赤は一度に全員消える。)
 
(2011年05月31日)