数学サイト
http://blog.livedoor.jp/mazra627/
からの問題
第138回「そろばん」
問題１：
そろばんを使って、１から１３８までの数を足すとき、
そろばんの一の位の一番下の珠（赤い珠）は、
何回動くでしょうか？
（上１珠＋下４珠＝５珠の算盤）
（下図も、私は下手なので、上記サイトからコピーしたものです）
http://blog.livedoor.jp/mazra627/
からの問題
第138回「そろばん」
問題１：
そろばんを使って、１から１３８までの数を足すとき、
そろばんの一の位の一番下の珠（赤い珠）は、
何回動くでしょうか？
（上１珠＋下４珠＝５珠の算盤）
（下図も、私は下手なので、上記サイトからコピーしたものです）
解答例１：
一の位の一番下の珠が動くのは
一の位（下一桁）が４か９の場合だろうということで・・・
ここでは、少し広げて一般的に考えて見ます。
ひらめきとは程遠い愚直なやり方ですが・・・
一見無限だが
有限で考えることができる
場合もあるということか
「１からｎまでの和の下一桁の数」
問題２：（少し広げて）
１＋２＋３＋・・・の和（三角数というらしい）の
下一桁の数は、いかなる値をとるか。
解答例２：
まず、１からｎまでの和をＳとすると、
Ｓ＝１ ＋２ ＋３＋・・・＋（ｎ－１）＋ｎ
これを逆に書くと、
Ｓ＝ｎ＋（ｎ－１）＋（ｎ－２）・・ ＋２ ＋１
２式を足すと、
２Ｓ＝（ｎ＋１）＋（ｎ＋１）＋・・・＋（ｎ＋１）
項数はｎなので、２Ｓ＝ｎ（ｎ＋１）
→ ∴ Ｓ＝ｎ（ｎ＋１）／２ ――――――――――――（１）
ここで
ｎ＝１０ｂ＋ｐ で表すことが出来る。
（整数ｂ≧０、整数ｐは０から９まで）―――――――（２）
（２）を（１）に代入すると、
Ｓ＝（１０ｂ＋ｐ）（１０ｂ＋ｐ＋１）／２
＝（（１０ｂ＋ｐ）^２＋（１０ｂ＋ｐ））／２
＝（１００ｂ^２＋２０ｂｐ＋ｐ^２＋１０ｂ＋ｐ）／２
＝５０ｂ^２＋１０ｂｐ＋５ｂ＋（（ｐ^２＋ｐ）／２）
＝１０（５ｂ^２＋ｂｐ）＋５ｂ＋（ｐ（ｐ＋１）／２） ―――（３）
（３）において下一桁の数値に関係するのは、
ｐ（ｐ＋１）／２ ＋５ｂ のみである。 ―――――――――（４）
（２）よりｐは０から９までであり、
５ｂは、１０の倍数か、１０の倍数＋５ となる。
その範囲で下一桁を調べればよいということになる。
つまり（４）より問題の下一桁の数は、
０から９までのｐについて、
ｐ（ｐ＋１）／２ の下一桁か、
それに５を足した数の下一桁となる。
ｐ ｐ（ｐ＋１）／２ ＋５ 下一桁の数値
０ ０ ５ ０， ５
１ １ ６ １， ６
２ ３ ８ ３， ８
３ ６ １１ ６， １
４ １０ １５ ０， ５
５ １５ ２０ ５， ０
６ ２１ ２６ １， ６
７ ２８ ３３ ８， ３
８ ３６ ４１ ６， １
９ ４５ ５０ ５， ０
以上より、下一桁は、０，１，３，５，６，８、である。（問題２の答え？）
言い換えると、ｎが、いかなる数であっても、
１からの和Ｓの下一桁は、２，４，７，９、にはならない。
よって一番上の
問題１において４と９にはならないので、
一桁目の一番下の珠が動く回数は、０回である。（問題１の答え？）
（２０１１年０７月１５日）
１ １ ６ １， ６
２ ３ ８ ３， ８
３ ６ １１ ６， １
４ １０ １５ ０， ５
５ １５ ２０ ５， ０
６ ２１ ２６ １， ６
７ ２８ ３３ ８， ３
８ ３６ ４１ ６， １
９ ４５ ５０ ５， ０
以上より、下一桁は、０，１，３，５，６，８、である。（問題２の答え？）
言い換えると、ｎが、いかなる数であっても、
１からの和Ｓの下一桁は、２，４，７，９、にはならない。
よって一番上の
問題１において４と９にはならないので、
一桁目の一番下の珠が動く回数は、０回である。（問題１の答え？）
（２０１１年０７月１５日）
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