虫歯を切っ掛けに、気力どん底・・・
歯茎が腫れて、顔まで腫れて、それでも歯科に行こうとしない。
しばらくは痛みに唸っていたが、
やや腫れが引いてきて、それでもゴロゴロしている。
久しぶりにネットしたら、
ややこしそうな難しそうな問題があった。
それだけは、やってみようという気になった。
この気力のムラは、鬱というより統合失調症に近い・・・のかな・・・
 
長らく批判対象としてきた人は
「敵を滅ぼしてください」
という聖句を引用~乱用して、とうとう
神に祈る人から、人を呪う人になったようだし・・・?
 
もうこうなったら病人なりに自分で何か書いてみようと思ったら、
やっぱり、また数学か・・・しかも、今回は難しく自信もない
・・・いつも自信はないけど・・・(苦・嘆)
------------------------------------------------------------------
 
数学サイト
http://blog.livedoor.jp/mazra627/archives/65501115.html#comments
からの問題
 
第140回「マネー・クーツの定理」
 直角三角形の中の円の軌跡
問題:
 
下図のように、3辺の長さが3,4,5の直角三角形ABCがあります。
その内部にある円を下図のように、
直角三角形ABCの少なくとも1つの辺に接するように移動させます。
円を移動させた軌跡の面積が最大となるときの円の半径を求めでください。
ただし、円周率πは、3とします。
 
                                        A
イメージ 1
                
三角形ABCの面積から
白い部分の面積を引くことを考える。
円の半径を r とする。
 
頂点からの2直線に内接する円の中心は
頂点角の2等分線上にある。(例えば内接円の中心)
 
sinA=4/5、cosA=3/5
cosA=cos^2(A/2)-sin^2(A/2)
=2cos^2(A/2)-1
=1-2sin^2(A/2)
∴ cos(A/2)=√((1+cosA)/2)
  sin(A/2)=√((1-cosA)/2)
∴ tan(A/2)
 =√((1-cosA)/(1+cosA))
 =(1-cosA)/sinA
 =(1-3/5)/(4/5)=1/2 ――――――――(1)
同様に、sinB=3/5、cosB=4/5 より
tan(B/2)=(1-4/5)/(3/5)=1/3 ―――(2)
したがって下図のように
半径rから、縦2rと横3rという距離が定まる。
 
イメージ 3

それによって、(1)と(2)より、
3つの頂点をそれぞれ挟む2辺と
円の中心から下ろした垂線によってできる四角形の面積が
頂点Aについては、2r^2 ―――――――――――――――(3)
頂点Bについては、3r^2 ―――――――――――――――(3)
直角頂点Cについえは、r^2 と定まる。―――――――――(3)
 
また、それによって内部の三角形の面積が
下図のように
 
イメージ 4
 
(3-6r)(4-8r)/2 と定まる。―――――――――(4)
 
また下図のように
 
イメージ 2

3つの扇形の角度の和が
内接円の角度の和360°に等しいことから
3つの扇形の面積の和は半径rの円の面積に等しい。―――――(5)
 
以上(3)(4)(5)より、
0<r<1/2のとき
つまり内部の白い三角形が存在するとき
円の軌跡の面積
=三角形ABCの面積
 -(内部の三角形の面積
   +3つの四角形の面積
   -3つの扇形の面積の和(=円の面積))
=3×4÷2
 -((3-6r)(4-8r)/2
   +2r^2+3r^2+r^2
   -πr^2)
=6-(6-24r+24r^2+6r^2-πr^2)
 
=-(30-π)r^2+24r
=-(30-π)(r^2-24r/(30-π))
 
=-(30-π)(r-12/(30-π))^2
           +12^2/(30-π)――――――(6)
 
よって(6)より
r=12/(30-π)のとき
面積最大値は、144/(30-π)
問題より、πを3とすると、
 r=12/27=4/9 のとき ―――(答え?)―――――(7)
面積最大値は、144/27=16/3=5.333・・・ ――(8)
 
r≧1/2のとき
つまり内部の三角形が存在しないとき
円の軌跡の面積=6-6r^2+πr^2=-(6-π)r^2+6
これは上に凸の2次曲線で、r≧1/2では下降曲線だから、
面積最大値は、r=1/2のとき、-(6-π)/4+6
πを3とすると、-3/4+6=21/4=5.25 ―――(9)
 
(8)と(9)では、(8)のほうが大きいので、
(7)(8)が答え・・・・(???)
 
(2011年08月13日)
-----------------------------------------------------------
何か間違ったような気がする・・・分かる人は教えてくだされ。
それで、または自分で、修正するかもしれません。

-----------------------------------------------------
この問題と解答例のどこが定理なんだろ・・・?
それで検索したり、SNSでサイトを紹介してもらったりしたが、
どうも「マネークーツの定理」は、隣り合う2辺に接する円、
その円とその隣の辺に接する円、・・・というふうに描いてゆくと
最初の円に戻るという?・・・
一般三角形や多角形を含めた定理のようだ。
なかなか掴みにくくて、私には、さらに証明は無理のようです。
この記事は、そういう難しい定理ではなく、
直角三角形内で単純に直角三角形の辺に接しながら移動する円の
軌跡についての問題と解答例と考えたほうがいいと思います。

(2011年08月16日、加筆修正)