数学サイト
http://blog.livedoor.jp/mazra627/archives/65509108.html?1314708081#comment-form
からの問題
 
第143回「可視領域」
問題
 
広い場所に高さ5.5mの棒が垂直に立っています。
遠くからこの棒に向かって秒速1mでまっすぐ進みます。
上から5mの赤い部分を見込む角度(χ)が30°以上であるように見えるのは何秒間でしょうか?
ただし、目の高さは地面の位置(高さ0m)とします。
 
イメージ 1

解答例 :
 
xを、地面から赤い5mの部分を
見上げる視野角と解釈します。
遠すぎると視野角は小さくなります。
近すぎても、横から見るのに近くなり、
視野角は小さくなります。
その間に視野角x=30°になる2点があり、
2点を含む間でx≧30°になる。
 
解答例1:めんどくさい計算     図1
 
イメージ 2

上図1のように
tanα=b/u ―――――――――――――――――――――(1)
tan(x+α)
=(tanx+tanα)/(1-tanxtanα)=(a+b)/u ――――――(2)
以下めんどくさいので計算は端折ります。(1)(2)より
 
tanx=au/(u^2+b(a+b)) ―――――――――――――(4)
x=30°、a=5、b=1/2 を代入して結局
 
16u^4-1112u^2+121=0
 
という方程式になり、解くと、
u^2=(139±2√4800)/4>0 (u^2は、きわどく正)
そして、64+75=139,64×75=4800より
二重√を外すことが可能で
u=±(8±5√3)/2 という4つの解を得る。
この中でuが正の解は、
 (8+5√3)/2 と (-8+5√3)/2 であり、
その差を取って、8m 通過時間8秒 (答え?)
 
 
解答例2:別の計算による解法     図2
 
イメージ 3

上図2のように
30°になる遠い点をA、近い点をBとする。
そうすると赤の棒を弦として、
その両端(下C、上D)と、
AとBは、円周角として、同一円周上にある。
弦が5、円周角が30°だから、
中心角60°で半径は5になる。
その円をOとして
CDの右側に地面(U軸)と垂直な接線を引き
これをV軸とする。接線V軸とCDは平行なので、
接点のV座標=円Oの中心のV座標
=1/2+5/2=3
U座標=-半径=-5
円Oの中心のUV座標(-5,3)、半径5より
円:(U+5)^2+(V-3)^2=25
A,Bは、V=0として
U^2+10U+25+9=25
(U+1)(U+9)=0 → U=-1,-9
A(-9,0),B(-1,0) ∴AB=8,
1m/秒より、通過時間8秒 (答え?)
 
 
解答例3:図形を中心に       図3
 
イメージ 4

上図3のように
△OCDが正三角形なので
円Oの半径=CD=5
 
AEが直径だから△EABは直角三角形
AE=10,そしてEB=E’H=CD+DE’+CH
=5+1/2+1/2=6
以上より△EABは、3:4:5の直角三角形
ゆえに、AB=8 通過時間は8秒 (答え?)
 
※ ちなみに
少し一般的に、視野角をx、
CD=a、CH=b、半径r、とすると、
ODと水平のなす角は、中心角/2=円周角=x
 r・sinx=a/2 → r=a/2sinx ―――――――――(3)
三平方の定理より
AE^2=直径(斜辺)^2
=(2r)^2=AB^2+(a+2b)^2
∴(3)より 
AB=√(4r^2-(a+2b)^2)
 =√(4(a/2sinx)^2-(a+2b)^2)
 =√(a/sinx)^2-(a+2b)^2)
問題のように、x=30°、a=5, b=1/2、
CD=半径=5を代入すると、
AB=√(100-36)=√64=8となります。(検算?蛇足)
 
さらに、xの最大値は分からないが、
tanxの最大値について・・・あまり自信はないです。
上の(4)より
tanx=au/(u^2+b(a+b))
   =a/(u+b(a+b)/u)
ここで、x,a,b,u は正だから
相加平均≧相乗平均より
tanx
 ≦a/2√(u×b(a+b)/u)
 =a/2√(b(a+b)) 
(問題では)
 =5/2√((1/2)(1/2+5))
 =5/2√(11/4)
 =5/√11 ・・・(tanxの最大値???)
そのとき、u=b(a+b)/u
 u^2=b(a+b) → u=√(b(a+b))
(問題では)
 u=√((1/2)(1/2+5))
 =√11/2 ・・・かな???
 
(2011年08月31日、同日、余計なこと?加筆修正)
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何がめんどくさいといって、前にまとめた2つと今回考えた1つ(2番目)の
3つの解答例をまとめるのに時間がかかりました。・・・終わりのほうは
間違っているかもしれません。コメントいただければ幸いです。