重心について
 
重心のxまたはy座標をひっくるめてGkで表すと
 
          「シグマ(k=1~∞)Sk・Gk」
重心は、 ―――――――――――――――――――
       「シグマ(k=1~∞)Sk」(つまり総面積)
 
ではないだろうか。・・・と
いきなり書くのは
自信がないからです。
(Sは面積、物理では質量m・・・?)
 
 
1.三角形の重心G
イメージ 3

重心Gのx座標は、頂点からの中線を2:1に分ける点だから、
(X2+X3)/2+(1/3)(X1-(X2+X3)/2)
 
=(X1+X2+X3)/3 ―――――――――――――――――(1)
 
ということで、y座標も同様だから、
 座標の平均値になるようだ。。――――――――――――――――(1)
 
 
2.しかし四角形の重心となると、そうはいかないようだ。
 
イメージ 1

四角形の重心G
 =(S1・G1+S2・G2)/(S1+S2)――――――――(2)
となるようである。
ここでG1,G2は、それぞれのxまたはy座標を示す。
 
 
3.(2)の例として
 
イメージ 2

積分による回転体の体積Vは、
△ABCを回転させた体積の2倍だから
 
BAは、y=x+3
BCは、y=(-3/2)x+3 より、
 
V=2×(∫(0-2)π((x+3)^2)dx
   -∫(0-2)π((-3/2)x+3)^2)dx)
=2π×∫(0-2)((x^2+6x+9)
          -((9/4)x^2-9x+9))dx
=2π×∫(0-2)((-5/4)x^2+15x)dx
=2π[(-5/(4×3))x^3+(15/2)x^2](0-2)
=2π((-5×8)/12+(15×4)/2)
=2π(-40/12 + 30)
=2π(-10/3 + 30)
=2π(80/3)=(160/3)π ―――――――――――――(3)
 
次に、前の記事に使った回転体の体積を利用する。
具体的には、
図の四角形を回転軸で回転させたときの体積
=図の四角形の面積×2π(回転軸と重心の距離p)
=積分で求めた図の四角形の体積
つまり「面積×重心の対称軸を中心とする円周」として求めると、
V=5×4÷2×2πp=20πp ――――――――――――――――(4)
 
(3)(4)より (160/3)π=20πp
 
 ∴ p= 8/3 =2.666・・・
  ABCDの重心G(2,p)=(2,8/3) ―――――――――(5)
 
ここで、
△ABDの重心G1(2,3+2/3)=(2,11/3)
 面積は △ABC=4
△BCDの重心G2(2,2)
 面積は △BCD=6
 
ABCDの重心Gを
4つの点の座標の平均と仮定すると、(2,11/4)になり
(5)と異なるので、4点の平均とするのは誤りである・・・。
 
(2)の重心の求め方
(S1・G1+S2・G2)/(S1+S2) を用いると重心Gは、
((4×2+6×2)/(4+6)、(4×11/3+6×2)/10)
=(2,(44+36)/30)
=(2,80/30)=(2,8/3)になり
これは(5)と一致するので、こちらのほうが正解である。
 
(2)を用いると、すべての四角形は、
例えば対角線をx軸にして、
4頂点のxy座標が与えられることによって
四角形の重心の座標を4頂点のxy座標の値で表すことが出来る。
(長い式になるので省略)
 
さらに次に
五角形は3つの三角形に分けられるので、
そのうち2つの三角形からなる四角形の重心を(2)より求めて
その四角形の重心と面積、また残りの三角形の重心と面積より
五角形の重心
=(四角形の面積×四角形の重心座標
  +三角形の面積×三角形の重心座標)/五角形の面積)
=((S1+S2)×((S1・G1+S2・G2)/(S1+S2))
  +S3×G3)/(S1+S2+S3)
=(S1×G1+S2×G2+S3×G3)/(S1+S2+S3)
 
(G1~3は重心のxとyの座標をひっくるめているので、
式は重心のx座標の式とy座標の式の2つになる。
今までのG1やG2を使った式も同様である。
つまり、X1~3、Y1~3、を使う2つの式だが、
x座標なら、G1→X1、などと置き換えるだけでよい。
いちいち書くのは面倒なので省略した・・・失礼。)
 
このことから一般に、
n角形は(n-2)個の三角形に分割できるので、
n角形の重心は、
「シグマ(k=1から(n-2))Sk×Gk」/「シグマ(同左)Sk」
=「シグマ(k=1から(n-2))Sk×Gk」/全体の面積
(Skは、それぞれの三角形の面積、
 Gkは、それぞれの三角形の重心のxまたはy座標とする。)
ということではなかろうかと考えたりします。・・・
 
冒頭の式は、有限のnを無限大∞にしただけです。(汗)
 
(2011年09月29日、同日修正加筆)
(2011年09月30日、三角形のところ間違い修正)