昨夜は8時ごろ眠くなりソファーに横になって
目が覚めたのは深夜1時。5時間眠った。
もう眠れない。わかっている。
睡眠障害。よくあること・・・
ネットから拾ってきた数学の問題で
無聊(ぶりょう)を慰める。
魂の癒しにはならない。わかっている。
真の慰めではない。どうせ私は偽者だ。
めんどくさい計算をした。
しかし結果は
下手の横好きの素人の私には驚くべきものだった。
 
 
数学サイト
http://blog.livedoor.jp/mazra627/
から
第152回「ポリアの壺」
問題
 
5個の白球と3個の赤球が入った壺があります。
その壺から、1個ずつ球を取りだします。
以下の条件のとき、4回目に白球が出る確率を求めてください。
 
<条件>
・取りだした球が白球ならば、その白球と新たにもう1個の白球を加え壺に戻す。
・取りだした球が赤球ならば、その赤球と新たにもう1個の赤球を加え壺に戻す。
 
 
解答例 :
 
玉の数は白でも赤でも1個ずつ増えるから
4回目が白の確率の分母は常に(8×9×10×11)――――(1)
 
題意より4回目は必ず白だから
3回目までの場合の白と赤の出る場合の数は
(白3+白2赤1+白1赤2+赤3)の場合の数
=1+3+3+1=8通り。―――――――――――――――(2)
 
確率の分子を(2)より8通りの場合に分けて示すと、
 
白白白白なら、5×6×7×8
 
赤白白白なら、3×5×6×7
白赤白白なら、5×3×6×7
白白赤白なら、5×6×3×7
これら3つは同じ値である。
 
赤赤白白なら、3×4×5×6
赤白赤白なら、3×5×4×6
白赤赤白なら、5×3×4×6
これら3つは同じ値である。
 
赤赤赤白なら、3×4×5×5
 
以上(2)の8通りの分子を足して
(1)より共通の分母で割ればよい。
またはそれぞれを(1)の分母で割って
約分してから足してもよいが、
 
なんとも面白みがないな(計算過程省略)
・・・と思いながら計算してみたのである。
 
結果は、5/8(答え?) !?
これは1回目に白が出る確率と同じではないか。
2回目をためしに計算しても、5/8
ということは何回目でも同じ(5/8)?
 
数学的帰納法で確認 :
 
1回目に白の出る確率は、5/8
    赤の出る確率は、3/8
 
k回目に白の出る確率を、5/8
 つまり赤の出る確率を、3/8 と仮定すると、
 
(k+1)回目に白の出る確率は、
(k回目白の確率)×(k回目白の確率の分母分子に1を足した確率)
+(k回目赤の確率)×(k回目白の確率の分母だけ1を足した確率)
=(5/8)×(6/9)+(3/8)×(5/9)
=(30+15)/72=45/72=5/8
 
つまり何回目でも白の出る確率は、5/8 ---(答え?)
 
 
一般化の好きな素人の私は一般化せずにはいられない。
 
壷の中に最初、白をm個、赤をn個とする。
1回目に白の出る確率は、m/(m+n)
    赤の出る確率は、n/(m+n)
 
k回目に白の出る確率を、m/(m+n)
 つまり赤の出る確率を、n/(m+n)と仮定すると
 
(k+1)回目に白の出る確率は、上と同様にして
(m/(m+n))×((m+1)/(m+n+1))
+((n/(m+n))×(m/(m+n+1))
=(m(m+1)+n×m)/((m+n)(m+n+1))
=m(m+n+1)/((m+n)(m+n+1))
=m/(m+n)となる。
 
何回目でも白の出る確率は、m/(m+n)
 
赤の出る確率は、・・・赤も白も同じである。
上の式のmとnを入れ替えればよいので、n/(m+n)
 
 
白々と夜が明ける。
カーテン越しに黄色く光って
網目からきらきら光って夜が明ける。
今日は晴れのようだ。
ふうっと、ため息。疲れたけれど、
あまりに小さい驚きと達成感。
わかっている。私は偽者だ。
今日も怠惰の一日だらだら暇つぶし。
ボケ防止の脳トレと言えば聞こえはよいが、
さしてよくもないが、
老いを、ため息の長さだけ、
ごまかして過ごしたに過ぎない。
過ごしたが過ぎない、でも過ぎてゆく。
知って解った気分、
でも私は何も知りません。
いつだって何も知らないのです。
何もないのです。
何かを知ったと言える日は遠い昔に消えたのです。
 
(2011年10月31日)