ＴＶ「たけしのコマ大数学科」最近の問題から
「頂点同士が追いかける正多角形」
問題：
一辺の長さＡＢ＝５ｍの正方形ＡＢＣＤがある。
ＡはＢを、ＢはＣを、ＣはＤを、ＤはＡを、
同じ速度で追いかけるとき、
ＡがＢに追いつくまでの道のりの距離を求める。
解答例：
動点が動点を追うのだから、
軌跡は曲線になるだろうと推測できる。
また
各頂点の動く条件は同じだから、
各頂点の曲線は同じ形になるだろう。
そうなると
ＡがＢに追いつく点は、ＢがＣに追いつく点と同じだから、
つまり４頂点は同じ点で重なり、
それは正方形の中心で、点対称になるだろう、
曲線は恐らく螺旋になるだろう、という直観的理解が可能である。
曲線は恐らく螺旋になるだろう、という直観的理解が可能である。
それを大まかに描いたのが下図右であり（不正確）、
微小な移動距離を誇張して描いたのが下図左である。
軌跡の曲線や頂点間の距離を
関数で表すことが出来ればよいのだが、
それは難しくて出来なかった。
ここでは、ベクトルを考えてみる。
上の左の図において
Ｂの速度ベクトルは、Ａの速度ベクトルに対して常に直角である。
ということは、Ｂの速度ベクトルは
Ａに近づく成分ベクトルも遠ざかる成分ベクトルも持たない。
つまりＢのほうはＡに近づくことも遠ざかることもない。
言い換えると、
相対的にＢは動かず、ＡがＢに一定の速度で近づくのと同じである。
したがってＡがＢに到達する道のりの距離は、
一辺の長さつまり最初のＡＢ＝５ｍ ということになる。（答え、確認済み）
正方形では軌跡の長さは一辺の長さに等しくなったが、
他の正多角形では、そうはいかないようだ。
正三角形では６０°の角度があるから
Ｂの速度ベクトルはＡの方向に近づく成分ベクトルを持つ。
正五角形では１０８°、正六角形では１２０°というように
正五角形以上では、９０°より大きい内角を持つので、
Ｂの速度ベクトルはＡから遠ざかる成分ベクトルを持つ。
ここでは
正三角形と正六角形について軌跡の長さを考えてみる。
関数で表すことが出来ればよいのだが、
それは難しくて出来なかった。
ここでは、ベクトルを考えてみる。
上の左の図において
Ｂの速度ベクトルは、Ａの速度ベクトルに対して常に直角である。
ということは、Ｂの速度ベクトルは
Ａに近づく成分ベクトルも遠ざかる成分ベクトルも持たない。
つまりＢのほうはＡに近づくことも遠ざかることもない。
言い換えると、
相対的にＢは動かず、ＡがＢに一定の速度で近づくのと同じである。
したがってＡがＢに到達する道のりの距離は、
一辺の長さつまり最初のＡＢ＝５ｍ ということになる。（答え、確認済み）
正方形では軌跡の長さは一辺の長さに等しくなったが、
他の正多角形では、そうはいかないようだ。
正三角形では６０°の角度があるから
Ｂの速度ベクトルはＡの方向に近づく成分ベクトルを持つ。
正五角形では１０８°、正六角形では１２０°というように
正五角形以上では、９０°より大きい内角を持つので、
Ｂの速度ベクトルはＡから遠ざかる成分ベクトルを持つ。
ここでは
正三角形と正六角形について軌跡の長さを考えてみる。
上図左に示すように
正三角形では、ＡとＢの相対的関係において、
ＡがＸだけ進む間に、ＢはＸ／２だけＡに近づく。
ゆえにＡがＢに到達するのは、
Ａが一辺の長さ５ｍの２／３進んだときである。
（そのときＢは５ｍの１／３だけＡに近づく）
したがって軌跡の長さは、（２／３）×５＝１０／３ｍとなる。
上図右に示すように
正六角形では、ＡとＢの相対的関係において、
ＡがＸだけ進む間に、ＢはＸ／２だけＡから遠ざかる。
∴ 図のように、Ｘ－５＝Ｘ／２ → Ｘ＝１０
つまり軌跡の長さは、一辺の長さの２倍、１０ｍとなる。
なお、頂点が多ければ多いほど、
内角が大きくなるので、
ＢがＡから遠ざかるベクトル成分が大きくなる。
つまり、それだけＡがＢに到達する軌跡の長さは大きくなり、
螺旋は渦巻きのような形になるだろう。
同じ円に内接する正多角形を考えると、
頂点同士は
近いほど、出会うのには長くかかるのである。・・・（苦笑？）
そしてその極限は、蛇足として下図に示すように、
直線上を同じ方向、同じ速度で移動する２点のように、
永遠に出会うことのない２点に近づいてゆくのである。
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正方形については答えをＴＶで確認してますが、
正三角形と正六角形については答えは未確認です。
間違ってるかもしれないので、コメントいただければ幸いです。
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