論理的思考も
 情緒・感性も
 元々出来がよくないのに
 益々衰えてきた
 
 年のせいなのか
 病気のせいなのか
 怠惰のせいなのか
 
 意欲も集中力もおかしいし
 くよくよすることも多くなり
 一つの問題にこだわって
 一つの悩みにこだわって解決しない
 すっきりしない
 不全感・・・また引きずって
 PCに向かう
 
 PCに向かえるひとときが今あるだけでも
 幸いなのかもしれない・・・
 
前の記事
「等分点・オイラー関数・ファレイ数列」
において
等分点は端を含まないので個数は(n-1)、
オイラー関数のほうはnを含む、ということで、
2つの問題を混同して、こんからがって述べた気がして、
すっきりしないところがありました。
高校レベルで理解できる初歩的なことだから、
数学の得意な人には笑われそうですが、
私の頭を整理するためにも、少し丁寧に
もう一度書いてみたくなりました。
それで
似たようなものですが、
次のような問題を考えてみます。
 
ここでは、n=p^r×q^s ――――――――――――――(1)
 と素因数分解できるものとして
 
問題1:
ある線分の2等分点、3等分点、4等分点と順に
「新しい等分点」にだけ印をつけていきます。
 n等分点も印をつけたとき、
(n-1)個のn等分点の中から
ランダムに1個の点を選ぶとき、
それが「新しい等分点」である確率を求めなさい。
 
問題2:
1~nまでの整数の中から
ランダムに1個の整数を選ぶとき、
それがnと互いに素となる整数である確率を求めなさい。
 
まず確率の基本的な考え方として、
 
 確率P=(特殊な場合の数 C )/(全部の場合の数 T )
   P=C/T である。 ――――――――――――――――(2)
 
問題2は
確率を先に求めることができる。
nと互いに素になる(公約数を持たない)ということは、
素因数がpとqだから、
pの倍数でもqの倍数でもないということである。
(1)より、nはpの倍数なので、
n=K×p とおける。
pの倍数は、1×p、2×p、・・・、K×p、のK個である。
したがってpの倍数となる確率は、(2)より
 K/n = K/(K×p)= 1/p
 ∴ pの倍数とならない確率は、(1-1/p)
(pの累乗は、pの倍数に含まれるので、
 (1)の指数、r、s、は考えなくてよい。)
同様に考えると、nと素になる確率、
即ち、pの倍数でもqの倍数でもない確率は、
 (1-1/p)×(1-1/q) となる。----(問題2答え)――(3)
このことから(2)のC、
つまりpの倍数でもqの倍数でもない個数は、
 C=T×P=n(1-1/p)(1-1/q)―――――――――(4)
つまりオイラー関数ということになる。
また、これは、言い換えると、
分母をn、分子を1~nとした分数の中で、――――――――――(5)
約分できない分数の個数とも言える。―――――――――――――(5)
ここで、n/nは、約分できて1となるので、
場合の数つまり個数としては、(5)は、
分母をn、分子を1~(n-1)とした分数の中で ――――――(6)
約分できない分数の個数と同じである。――――――――――――(6)
 
問題1については、
「新しい等分点の個数つまり場合の数」は、
分母をn、分子を1~(n-1)とした分数の中で ―――――(7)
約分できない分数の個数ということになる。 ――――――――(7)
約分できれば分母は、nより小さくなり、
2~(n-1)等分点の中に出てくるので
「新しい等分点」
にはならないからである。
(7)は(6)と同じであり、
(6)は(5)と、個数としては等しく、それは(4)であるから、
「新しい等分点の個数」は(4)に等しいことになる。
これが、前の記事の「新しい等分点の個数」を求める問題において
オイラー関数が答えとなる根拠である。
 
以上より、
確率の基本である(2)の
(特殊な場合の数 C )は、問題1でも問題2でも同じ
ということが分かる。
 
しかし、求める確率となると、
問題1と問題2とは違ってくる。
(全部の場合の数 T )が、―――――――――――――――(8)
つまり選択肢の数が問題1では(n-1)であり、――――――(8)
問題2では、nになる。
 
したがって
確率については、(問題2答え)の(3)と同じにはならず、
 
(2)の基本、(7)=(6)=(4)、(8)より、
問題1の求める確率は、
 n(1-1/p)(1-1/q)/(n-1) ---------(問題1答え)
 =(n/(n-1))×(1-1/p)(1-1/q)---(問題1答え)
 
となり、問題2より少し高い確率になる・・と思う・・(?)
 
(2011年11月23日、また同日若干修正・・・ふぅっと息)
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くどくどと長々と同じ問題について再び書いてしまいました。
すっきりした論理的文章と解答が書けなくてすみません。
これでも、まだ、勘違い、間違いなど、あるかもしれません。
コメントいただければ幸いです。失礼いたしました。