数学サイト
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「たけしのコマ大数学科」第162回
「恋する数学ベストカップル決定戦」ラウンド1 第1問
問題
 
覆面算です。
 AB+BA+A=AAB
 
となるとき、A、Bは、1~9までのどの自然数でしょうか?
 
 
解答例 ???
 
これは割と簡単そうな数学クイズ~パズルだと思って
気楽に始めたのだが・・・
 
  AB
  BA
 + A
 ――――
 AAB   と解釈する。
 
1桁目の計算
 B+2A=10C+B ――――――――(1)
   Cは繰り上がる数。
 
C=0つまり繰り上がらないとすると
2桁目のA+Bも繰り上がらないので
計算結果は2桁になり題意に反する。
というよりB+2A=B → A=0となり題意に反する。
 
繰り上がる場合、最大9+9+9=27だから
Cは、1か2
(1)を整理すると
A=5C 範囲を満たすのは、
C=1,A=5 ――――――――――――(2)
 
あるいは
B+2A の1桁目が B になるということは、
2Aが10の倍数ということになる。
Aは1~9より、2Aは2~18
ゆえに2A=10 → A=5 ―――――――(2)
 
ところが
問題の左辺は、2桁+2桁+1桁という計算である。
これは最大でも、99+99+9=207=AABだから
Aは、1か2ということになる。―――――――――(3)
(2)と(3)は矛盾・・・!?
解は、ない・・・???
 
(※ AB=A×Bなら、2AB+A=A^2×B
  2B+1=AB→A=2+1/Bで、
  B=1,A=3 と簡単なのだが、
  覆面算というのは、そういうものではないのだろう。)
 
だとすれば、十進数に解がないということになるので、
苦し紛れに、2進数ではどうだろう、と考えてみる。
 
 11+11+1=111 (十進数なら、3+3+1=7 )
 
ということは、A=B=1 ---(答え???)
 
もしこれが正解ならば、
相当な引っ掛け問題である。
 
問題のタイトルと内容が全然関係ない。つまり
短時間で十進数に解がなく2進数の解に気づきなさい
という趣旨の問題だろうか。
しかも
3進数、4進数、5進数、・・・、N進数表記において
解がないことを証明しなければ完全解ではないような気がする・・(?)
 
ということで、
N≧3の、N進数について試しに考えてみる。
 
とても愚直で面倒臭いやり方だが・・
例えば、N進数表記AABは、
A×N^2+A×N+B
という数式に置き換えられる。
問題の式 AB+BA+A=AAB を置き換えると
 
(A×N+B)+(B×N+A)+A=A×N^2+A×N+B
 
 N×B=(N^2-2)×A
 
 B=((N^2-2)/N)×A
  =(N-(2/N))×A
  =N×A-2A/N ―――――――――――(4)
 
Bが整数になるためには
 (2A/N)が整数にならなければならない。
2進数なら、N=2で、B=2A-A=Aとなる。
ここで、N≧3、
そして整数A,Bの範囲は、
題意より1~9、と
またN進数1桁の値だから、1~(N-1)の
どちらか狭いほうということになる。
 
Nは無限なので、
Aの1~9について、 N≧3 の範囲で
(2A/N)が整数になるかを考えてみる。
Bの値は、(4)より、B=N×A-2A/N で計算する。
 
A=1のとき、(2A/N)=2/N
 N≧3では、整数にならない。
A=2のとき、(2A/N)=4/N
 N≧3では、N=4進数しかない。
 B=4×2-1=7
 4進数の1桁に7という数はない。
A=3のとき、(2A/N)=6/N
 N=3 しかし3進数の1桁にA=3という数はない。
 N=6進数 B=6×3-1
        =17 これはBの範囲を超える。
A=4のとき、(2A/N)=8/N
 N=4進数にA=4という1桁の数はない。
 N=8進数 B=8×4-1
        =31 これはBの範囲を超える。
Nが大きくなるとBの範囲を超えるようだ
・・もっと簡単に出来そうな気もするのだが・・
A=5のとき、(2A/N)=10/N
 N=5進数にA=5という1桁の数はない。
 N=10進数 B=10×5-1
         =49 これもBの範囲を超える。
A=6のとき、(2A/N)=12/N
 N=3進数、N=4進数、N=6進数に6という1桁の数はない。
 N=12進数 B=12×6-1
         =71 これもBの範囲を超える。
 ・・同じような計算をやってる・・?
A=7のとき、(2A/N)=14/N
 N=7進数にA=7という1桁の数はない。
 N=14進数 B=14×7-1>9
A=8のとき、(2A/N)=16/N
 N=4進数、N=8進数に 8という1桁の数はない。
 N=16進数 B=16×8-1>9
A=9のとき、(2A/N)=18/N
 N=3,6,9進数にA=9という1桁の数はない。
 N=18進数、B=18×9-1>9
 
以上より、3進数以上のN進数に
A,Bが1から9までという題意を満たす解はない。
 
(2012年01月18日)
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勘違いしているかもしれません。正解か、
もっと簡単な方法があったら教えてください。
2日間PCつけっぱなしで、時々PCの前に座っては
ふりまわされておりました。
母が入院中だというのに・・・リハビリが始まったようです。
 
不必要に面倒なことを書いてしまいました。
AB+BA+A=AAB の、
 B=N×A-2A/N ―――――――――――(4)
において、上に書いたことをまとめると、
A=p のとき、――――――――――――――(5)
N≦p=A なら、
N進数に一桁のAという数はない。
p<N<2pなら、
1/2<(N/2p)<1
2>(2p/N)>1で整数にならない。
N>2pなら、(2p/N)<1で整数にならない。
∴ N=2p しかなく、―――――――――――(6)
(2p/N)=1 しかなく、――――――――――(6)
B=N×A-2A/N
 =2p×p-1=2p^2-1 ―――――――――(7)
A=p は1~9なので、これに当てはめると
(5)(6)(7)より
A=p=1のときB=1(答え)
A=p=2のときB=2×4-1
 =7 N=2p=4進数に
 7という1桁の数はない。
A=p≧3では、
 B=2p^2-1>9となる。
よって解は、A=B=1 のみということになりそうです。
 
(2012年02月20日、加筆修正)
(2012年03月04日、一部加筆修正)