数学サイト
http://blog.livedoor.jp/mazra627/
よりの問題:
ABの長さが10のとき、
青色の部分の面積を求めてください。
円周率は、π(パイ)とします。
イメージ 1

(答えは、25πとなる。)
を参考にして・・・
 
 
問題:
 
大小の2つの円が与えられたとき、
定規とコンパスを使って
大きな円の中に小さい同心円を描くことで
最初の小円と同じ面積の平面ドーナツ形を描きなさい。
 
 
解答例:
 
( 円の中心は任意の弦2本の垂直2等分線の交点で得られる。 )
 
小円Oと大円O’の中心を結び、中心線OO’とする。
Oを通り中心線OO’に直角な直径ABを引く。
小円の半径OA=OB=Ro とする。――――――――――(1)
 
それぞれA,Bから、中心線に平行、ABに垂直な直線を引き、
大円O’の弧との交点をそれぞれA’,B’とする。
A’B’と中心線との交点を C とする。
下図のように、OA=OB=CA’=CB’=Ro である。
 
O’C=r を半径に小さい同心円を描く。―――――――――(2)
 
イメージ 2

大円の半径 O’A’=O’B’=R とする。―――――――(3)
 
(1)(2)(3)と図より、
三平方の定理より、R^2=r^2+Ro^2
 Ro^2=R^2-r^2 ――――――――――――――――(4)
 
青いドーナツ形の面積は、(4)より、
 πR^2-πr^2=π(R^2-r^2)
         =π×Ro^2 となり、
上の青い小円の面積に等しい。
 
以上より(2)までの描画により
円と等しい面積を持つドーナツ形(同心円)を描くことが出来る。
 
(2012年03月26日)
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以上のことから厚さが均一な円盤から
等しい体積を持つ厚さが均一な円盤型ドーナツを作ることは可能ですが、
断面が円になるようなドーナツを球から作ることを考えてみると
ドーナツに相当する回転体積を計算すると面倒になったので
・・気が向いたら改めて考えてみます・・???
 
為すべき何事も為し得ない状況ですが、
ふと一番上のような数学サイトからヒントをもらって、
気晴らしの遊びに逃げております。すいません・・
 
 
(補足・追加:同心円を外側に・・・)
 
同心円を大円の内側に描くことを説明してきたが、
同心円は外側に描くことも出来る。
 
上図のドーナツの穴の白い円を
与えられた円(半径=r)というふうに問題の設定を変えてみると、
 
中心線と,弦ではなく、弧の交点をCとして
Cを通り中心線に直角な直線、つまり接線と
A,Bから下ろした垂線との交点によって、
A’、B’を定めて、Rを得ることが出来る。
 
このようにして同心円を外側に描く方法のほうが
与えられる2つの円の大小に関係なく
ドーナツ形同心円を描くことが出来る。
 
(●また外側に描けるということは、
上図のドーナツ形の外側に、同様にして、
RoとrとRが同じ関係を持つ同心円を
描くことが可能になり、
つまり外側の同心円は無数に描けるということになる。●)
これは・・間違えたようです。(恥)
半径rの円を含むのだから同心円は外側に1つしか描けない。
 
つまり
2つの円が与えられた場合、
小さい円の中には同心円ドーナツは描けない場合があるので、
内側に0または1つ、外側に1つ同心円ドーナツが描ける。
 
1つの円(半径=Ro)だけが与えられ、
その円と同じ面積の同心円ドーナツは幾つ描けるか
ということなら、下図のように、
イメージ 3

R^2=r^2+Ro^2
Roは定数、rとRは連続した関数として相関しているので、
同心円ドーナツは連続した任意のr (>0)について
無数に描けるということでしょう。
 
さて、逆に
同心円ドーナツが与えられた場合、
同心円ドーナツと同じ面積の円は、
一番上の数学サイトの図と答え、
および上図において明らかなように、
穴の円の接線と外側の円との交点を結んだ
AB=A’B’を直径とする円になる。
 
(2012年03月27日、加筆修正、同日さらに修正)