頭がバカになったか空っぽになったような状態がずっと続いている日々の中で
久しぶりに書く気になったのが数学図形問題とは・・(嘆息)
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数学サイト
http://blog.livedoor.jp/mazra627/archives/65570521.html#comments
より
「たけしのコマ大数学科」第173回「星座」
問題:
午後6時30分に、
北の空に北極星Nと直角二等辺三角形になる星A、B、Cが
下の図のように見えました。
また、BNとBCの長さは等しく、BNと地平線は平行でした。
何時間か後に星AとBが同時に地平線に沈み、
その後、星Cも沈みました。
星Cが沈んだ時刻を求めてください。
(星は反時計回り)
イメージ 1

 
 
 
解答例:
北極星の周辺で、よく知られているのは、
というより私が知っているのは
北斗七星とカシオペア座だけで、
この2つのどちらかから北極星を探したものでした。
実際には問題のような星座はないと思いますが、
問題としては割りと分かりやすく、かつ、ひとひねり(?)
ということで載せてみることにしました。
 
問題の図の中で
A,B,C,はNを中心に回ります。
星Nと地平線は動きません。
しかし地平線の位置、つまり
Nと地平線の距離は書いてありませんから
求めなくてはなりません。
そのヒントは問題文の中の
「星AとBが同時に地平線に沈み」ということです。
つまり回転してAとBが水平になるときのABが地平線になります。
NCABが平行四辺形だということを考えると
下図のように45°回転したとき。-----------------------------(1)
イメージ 2

 
上の図からどれだけ回転すれば星Cが地平線に達するかを考えます。
ここで、長さの比が必要になるので、仮に
AC=CB=BN=1 とすると、
AB=CN=√2 になります。--------------------------(2)
 
Nから地平線AB延長線に垂線NHを下ろすと、
NH=1/√2 になります。------------------------(3)
これがNと地平線の視覚上の距離。
 
さらに地平線AB上にNC=NC’となるようにC’を取ります。
(2)より、NC’=√2 ----------------------------------(4)
∠CNC’が、Cが地平線に達するまでの回転角度になります。---(5)
下図に示すように
イメージ 3

直角三角形NC’Hにおいて斜辺と一辺の比は(3)(4)より
NC’:NH=√2:(1/√2)=2:1 になるので、
∠NC’H=30° になり
錯角は等しいので、∠CNC’=∠NC’H=30°
すなわち回転角度は30° ------------------------------(6)
 
(1)+(6)により
最初の問題の図から、Cが地平線に沈むまでの角度は
45°+30°=75° ------------------------------(7)
 
ここで注意すべきは
時計は12時間で一回りしますが
星は24時間で一回りするということです。
すなわち、24時間で360°
ということは、1時間で15°になります。
 
(7)の75°回転は、15°×5で、5時間。
したがって星Cが沈む時刻は
午後6時30分から5時間後の午後11時30分。――――(答え)
 
(2012年08月19日)