すみません。あちこち修正しまくってます・・(汗、11月7日現在)
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久しぶりのブログ更新は・・やっぱり数学か・・図もなく絵もなく花もなく
・・間違いはあるかもしれない・・年寄りの冷や水(冷や汗?)でございます。
 
  「√と虚数の計算」
 
問題 : a,b を実数として
 
 1. √a×√b=√(ab)
 
 2. √(a/b)=√a/√b  は、成り立つか。
 
 
解答例? :
 やってみたことの方針は・・
√の中は実数計算。
√の中が正なら、そのまま√?×√?、√?/√?への変換は可。
√(-X)=i√X、√X=i√(-X)は、Xの正負による。
(というのは、なんか変???・・2度重ねて使うと
√(-X)=i√X=ii√(-X)=-√(-X)???)――①(後述→この記事の下の部分)
ともかくも√の中が正になるように、i を使う。
 
 (※ 以下の計算では、a<0のとき、i√a=ii√(-a)=-√(-a)、
  ゆえに、√(-a)=-i√a となる。 b<0,ab<0 のときについても同様。)
 
1.
(1) a>0、b>0 のとき → ab>0
  √a×√b=√ab (実数計算なので成立。これが基本)
(2) a<0、b>0 のとき → ab<0,-a>0
  √a×√b=i√(-a)×√b
       =i√(-ab)=-ii√ab=√ab (成立)
(3) a>0、b<0 のとき → ab<0、-b>0
  √a×√b=√a×i√(-b)
       =i√(-ab)=-ii√ab=√ab (成立)
(4) a<0、b<0 のとき → ab>0、-a>0、-b>0
  √a×√b=i√(-a)×i√(-b)=ii√((-a)×(-b))
       =-√ab≠√ab (不成立)
    (4)の場合だけ不成立。
 
2.
(1) a>0,b>0 のとき → a/b>0
  √(a/b)=√a/√b (実数計算なので成立。これが基本)
(2) a<0,b>0 のとき → a/b<0、-a>0
  √(a/b)=i√(-a/b)=i√-a/√b=-ii√a/√b=√a/√b (成立)
(3) a>0、b<0 のとき → a/b<0、-b>0
  √(a/b)=i√(a/-b)=i√a/√-b
   =(i^2/i)×(√a/√-b)=(-1/i)×(√a/√-b)
   =-√a/i√-b=-√a/(-ii√b)=-√a/√b≠√a/√b (不成立)
(4) a<0,b<0 のとき → a/b>0、-a>0、-b>0
  √(a/b)=√(-a/-b)=√(-a)/√(-b)
   =-i√a/(-i√b)=√a/√b (成立)
    (3)の場合だけ不成立。
 
まとめると、
√a×√b=√(ab)においては
 a,b が、ともに負のとき不成立。正しくは、-√ab
√(a/b)=√a/√bにおいては、分子の a が正で、
 分母の b が負のとき不成立。正しくは、-√a/√b
というふうに、どちらも「-」が付く。・・・・・・・・・(答え?)
 
※ パラドックスの否定
 i=√(-1)=√(-1/1)=√(1/-1)
   (ここまでは正しいと思うが・・)
  ∴ √(-1)/1=1/√(-1)として
     i=1/i → i^2=1、また、-1=1
 とするのは、2.の(3)、および(答え?)より、間違いだと分かる。
 √(1/-1)=-√1/√-1=-1/i となり
 結果として、i=-1/i → i^2=-1 になるだけだ。
 
(2012年10月18日、同日一部修正)
(2012年11月06日、次の記事「iの定義(2)」より演算部分加筆修正)
(2012年11月07日、上の「※ パラドックスの否定」の部分など一部修正)
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ずっと前に書いた記事「iの定義」も分からなくなったが、
今回も①のような疑問が分からずにいる。ウィキペディアなどによると
 i^2=-1 ←(同値?)→ i=±√-1
などと書いてあるが、同値が崩れるせいか・・それでも分からない。
疑問だらけのいい加減な記事で申し訳ありません。(・・暇潰し?嘆)
知っている人がいたら教えてくだされ。
また、間違っていたらコメントくださいませ。
 
実数では当たり前に成り立った計算が虚数では成り立たないことがある
・・私にとっては若い頃から、全く無理を通すアイなのであります。
 
 
(追加補足)
上の記事の中の ①のパラドックスを否定するために
私の考えられる範囲で補足してみます。
 i=√(-1) として、記号をXからdに変更して、
 
  √(-d)=i√d=ii√(-d)=-√(-d)  ???―――①
 
ここで、上の記事の、1.の(4)の場合より
 a<0、b<0 のとき → ab>0、-a>0、-b>0
  √a×√b=i√(-a)×i√(-b)
       =(-1)×√((-a)×(-b))
       =-√ab ≠√ab         ―――②
 
d>0 のとき
 i√(-d)=√(-1)×√(-d)
  (これは、②の場合に当てはまるので)
       =-√((-1)×(-d))=-√d
 ゆえに √d=-i√(-d) 
    i√d=-ii√(-d)=√(-d) ≠-√(-d)
 ①の 2番目の等号が成り立たないので ①は不成立。
d<0 のとき
 i√d=√(-1)×√d
  (これも、②の場合に当てはまるので)
    =-√(-d) ゆえに √(-d)=-i√d ≠i√d
 ①の 1番目の等号が成り立たないので、①は不成立。
以上より、dの正負にかかわらず ①のパラドックスは成り立たない。
 
(2012年10月19日、追加修正)
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つまり虚数に虚数を掛けると負になるということで、
これで少しはすっきりしたような、しないような・・失礼。