これは虚数についての初歩的な勘違いかもしれません・・
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愛が人間一人(独り)では成り立たず
人間関係が必要であるように
虚数単位 i も
実数との(演算)関係によって初めて
成り立つような気がしている・・
 
  「i の定義(2)」
 
2次方程式を解いていると、√の中が負になることがある。
それでも解ありとするために
自乗すると(-1)になる虚数単位を定義したのだろうけれど
 i=√(-1) → i^2=-1 ―――――――――――――――(1)
と定義するだけでよいのだろうか・・√(-1)は依然、正体不明??
特に前の記事「√と虚数の計算」
のような√の計算規則を導けるのだろうか
・・・と考えてしまう。
 
(1)の i=√(-1) という定義だけから
√(-3)=i×√3 が導けるだろうか。
 
1. i=√(-1)の両辺に、√3 を掛けて
  i×√3=√(-1)×√3=√(-3)
 または、√(-3)=√(-1)×√3=i×√(-3)
 しかし、i=√(-1)と定義しただけの段階では
 √a×√b=√ab が無条件に成り立つという証明はない。
 実際、前の記事「√と虚数の計算」に書いたように、
 a<0、b<0のときは成り立たない。
 
2.√(-3)=√((i^2)×3)=i×√3
 しかし、演算規則が定まっていない段階では、
 √(-3)=√((±i)^2×3)=±i×√3 という
 乱暴な計算も可能になりそうな気がする。
 
それで、定義としては間違っているのだろうけれど、
 
実数 a>0 について
  √(-a)=i×√a としての i ―――――――――――――(2)
( したがって、a<0のときは√a=√(-(-a)=i√(-a) )
 
というふうに基本的な演算によって、i を定義したほうが
分かりやすいような気がする。そうすると、
前の記事 「√と虚数の計算」の演算規則が導きやすい。
 
それによって1.の結果も成り立ち、
2.のパラドックスは(2)によって否定される。
また、i=√(-1)は、
(2)において、a=1 と置いたときの結果ということになる。
 
正負の判断なく、√(-a)=i×√a を使うことは出来ない
ということは前の記事 「√と虚数の演算」に示したと思う。
√の中が負と分かっているとき、iを使う意味が生まれる。
√の中の正負が明らかでない未知数や任意の数などの場合は
 正の場合と負の場合に場合分けをする必要が生まれる。
 
 
※ さて、√の中が虚数の場合はどうだろう。実数のような
正負は問えなくなるので、私には、よく分からないのだが・・
例えば √(-i)については、自乗して(-i)になる数ということならば、
(-i)の絶対値は1だから、√(-i)の絶対値も1、
(-i)の偏角は(-(π/2)+2nπ)だから  (nは整数)
ドモアブルの定理またはオイラーの公式より、
偏角に(1/2)を掛けて
√(-i)の偏角は、(-(π/4)+nπ)となり、
複素平面上では、-(π/4)、(3/4)π
という2つの偏角を持つことになる。
これにサインとコサインを当てはめると、
√(-i)=±(1-i)/√2 ということか・・(??)
 
(2012年10月30日)
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虚数単位 i は、imaginary number で、
愛も、ある意味、imaginary(想像上の、仮想の)なのかもしれない。
虚数にこだわりながら分からず人間関係も乏しい私は、
この世界では、imaginary「虚」の人なのかもしれない。
このブログのタイトル「ウソの国」は、必ずしも
そういう意味ではなかったはずなのだが・・
 
そんなことを考えていた昨日、連絡があって
母が介護施設から職員に支えられながら
着替えなどを取りに日帰りの一時帰宅しました。