ブログに書いてみたい問題が他に２問ほどあるのですが、
気力がなくて図を描くのが面倒で面倒で・・
記述だけの問題と解答例？１つ、とりあえず書いておきます。
気力がなくて図を描くのが面倒で面倒で・・
記述だけの問題と解答例？１つ、とりあえず書いておきます。
・・また・・修正加筆しまくってます。すいません。（１２月２７日現在）
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数学サイト
http://blog.livedoor.jp/mazra627/
より、「たけしのコマ大数学科」
第180回「最大公約数」
問題 ：
各桁の数字がすべて異なる、どれも０でないような３桁の正の整数ｎがあります。
ｎの各数字を並べてできる６つの数の最大公約数を ｇ とします。
ｇとして考えられる最大の値を求めてください。
※2010年 日本数学オリンピック予選問題です。
解答例 ：
私には解けませんでした。（嘆）
別サイトで答えを見てもよく分からず
私が分かったつもりになれる書き方？を加えました。
ここでは、Ａ＞Ｂ＞Ｃ とします。ｇ を使うと
ＡＢＣ＝ｇｔ、ＡＣＢ＝ｇｕ、
ＣＡＢ＝ｇｖ、ＣＢＡ＝ｇｗ となり、
ＡＢＣ－ＡＣＢ＝ｇ（ｔ－ｕ）
ＣＡＢ－ＣＢＡ＝ｇ（ｖ－ｗ） --------------------------（１）
（ＡＢＣ＝１００Ａ＋１０Ｂ＋Ｃ という書き方です。）
※ ｇ は、ＡＢＣ，ＡＣＢ，ＢＡＣ，ＢＣＡ，ＣＡＢ，ＣＢＡ
という６つの３桁の整数の最大公約数なので、
ｔ，ｕ，ｖ，ｗ，は４つ全部が、言い換えると、どの２つをとっても
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数学サイト
http://blog.livedoor.jp/mazra627/
より、「たけしのコマ大数学科」
第180回「最大公約数」
問題 ：
各桁の数字がすべて異なる、どれも０でないような３桁の正の整数ｎがあります。
ｎの各数字を並べてできる６つの数の最大公約数を ｇ とします。
ｇとして考えられる最大の値を求めてください。
※2010年 日本数学オリンピック予選問題です。
解答例 ：
私には解けませんでした。（嘆）
別サイトで答えを見てもよく分からず
私が分かったつもりになれる書き方？を加えました。
ここでは、Ａ＞Ｂ＞Ｃ とします。ｇ を使うと
ＡＢＣ＝ｇｔ、ＡＣＢ＝ｇｕ、
ＣＡＢ＝ｇｖ、ＣＢＡ＝ｇｗ となり、
ＡＢＣ－ＡＣＢ＝ｇ（ｔ－ｕ）
ＣＡＢ－ＣＢＡ＝ｇ（ｖ－ｗ） --------------------------（１）
（ＡＢＣ＝１００Ａ＋１０Ｂ＋Ｃ という書き方です。）
※ ｇ は、ＡＢＣ，ＡＣＢ，ＢＡＣ，ＢＣＡ，ＣＡＢ，ＣＢＡ
という６つの３桁の整数の最大公約数なので、
ｔ，ｕ，ｖ，ｗ，は４つ全部が、言い換えると、どの２つをとっても
互いに素とは限りませんが、
（ｔ－ｕ）と（ｖ－ｗ）は互いに素だと思います。
でないと、ｇ が変わってしまうと思います。 （後述→下の、※の部分）
（ｔ－ｕ）と（ｖ－ｗ）は互いに素だと思います。
でないと、ｇ が変わってしまうと思います。 （後述→下の、※の部分）
また
ＡＢＣ－ＡＣＢ
＝（１００Ａ＋１０Ｂ＋Ｃ）－（１００Ａ＋１０Ｃ＋Ｂ）
＝９（Ｂ－Ｃ）
同様にして、ＣＡＢ－ＣＢＡ＝９（Ａ－Ｂ） --------------（２）
（Ｂ－Ｃ）と（Ａ－Ｂ）の最大公約数をｈとすると
ＡＢＣ－ＡＣＢ＝９ｈｘ
ＣＡＢ－ＣＢＡ＝９ｈｙ とも書ける。 ------------------（３）
ｘ＝ｙ＝１でなければ、ｘ≠ｙ
ｘとｙは互いに素。
以上、（１）と（３）より、
ｇ（ｔ－ｕ）＝９ｈｘ
ｇ（ｖ－ｗ）＝９ｈｙ
（ｔ－ｕ）と（ｖ－ｗ）は互いに素、ｘとｙも互いに素。
ゆえに ｇ＝９ｈ --------------------------------（４）
ｇ＝９ｈより、ＡＢＣも ９の倍数。ゆえに
１００Ａ＋１０Ｂ＋Ｃ＝９９Ａ＋９Ｂ＋（Ａ＋Ｂ＋Ｃ） より
Ａ＋Ｂ＋Ｃ も９の倍数。------------------------------------（５）
（２）と（３）より、Ａ－Ｂ＝ｈｘ、Ｂ－Ｃ＝ｈｙ
ゆえに、Ａ，Ｂ，Ｃの差はｈの倍数。 --------------------（６）
ｈが５以上だと１～９に納まらないので
ｈは、１，２，３，４のいずれかである。 ---------------（７）
（４）～（７）を踏まえて、（Ａ，Ｂ，Ｃ）を検証する。
ｈ＝４のとき、差は４の倍数。
（９，５，１）だけ。
足して９の倍数にならない。
ｈ＝３のとき、差は３の倍数。
（９，６，３）、（８，５，２）、（７，４，１）
という３つの候補があり、
足して９の倍数になるのは（９，６，３）のみ。
しかし、９ｈ＝９×３ で割り切れず、ｇにはならない。
ｈ＝２のとき、差は２の倍数。
（９，７，５）、（９，７，３）、（９，７，１）、
（９，５，３）、（９，５，１）、（９，３，１）、
（８，６，４）、（８，６，２）、（８，４，２）、
（７，５，３）、（７，５，１）、（７，３，１）、
（６，４，２）、（５，３，１）、という候補があるが、
足して９の倍数になるのは、（８，６，４）、（５，３，１）
（８，６，４）は、
例えば、８６４＝９×２×２×２×２×２×３
ｇ＝９ｈ＝９×２＝１８ を因数に持つ。-----------------------（８）
（５，３，１）は最小公倍数は、９になり、９ｈ＝１８にならない。
ｈ＝１のときは、ｇ＝９ｈ＝９ になり、１８より小さい。
よって題意に当てはまるのは、（８）だけとなり、
３桁の整数 ｎ は、（８，６，４）の３つの数から出来る３桁の整数、
求める最大の ｇ は、１８ ---------（答え）
（２０１２年１１月２２日）
※ （ｔ－ｕ）と（ｖ－ｗ）は本当に互いに素と言えるのかどうか・・
（記号はすべて整数として）
もし上の２つ（ｔ－ｕ）と（ｖ－ｗ）が互いに素でないと仮定するなら、
共通約数をｄとすると、これだけでは、
（ｔ－ｕ）＝ｄ（ｔ’－ｕ’）とは、必ずしも書けないが-----------（９）
ｔ－ｕ＝ｄＰ, ｖ－ｗ＝ｄＱ とは書ける。
ＢＡＣ＝ｇｌ、ＢＣＡ＝ｇｍ とすると、（２）より、
ＢＡＣ－ＢＣＡ＝９（Ａ－Ｃ）＝９（Ａ－Ｂ）＋９（Ｂ－Ｃ）＝（ＡＢＣ－ＡＣＢ）＋（ＣＡＢ－ＣＢＡ）
＝ｇ（（ｔ－ｕ）＋（ｖ－ｗ））＝ｇｄ（Ｐ＋Ｑ）＝ｇ（ｌ－ｍ）
ｄ（Ｐ＋Ｑ）＝（ｌ－ｍ）となり、（ｌ－ｍ）も約数ｄを持つから、
ＢＡＣ－ＢＣＡ＝ｇｄＺ となり、（１）の２式も
ＡＢＣ－ＡＣＢ＝ｇｄＰ
ＣＡＢ－ＣＢＡ＝ｇｄＱ となり、
最大公約数を ｇ と置くことは出来ず、
ｇｄ と置かざるを得なくなってしまう---（矛盾）
やはり、ｇ を最大公約数と設定する限り
（ｔ－ｕ）と（ｖ－ｗ）は互いに素・・（？）・・ここに
「並べ替えによる６つの３桁整数」という特殊性が表れるということか・・
・・まわりくどく勘違いして書いたみたいです・・
なお、（９）は、ｔ－ｕ＝ｄ（ｔ’－ｕ’）＝ｄｔ’－ｄｕ’から
単にこの式だけ見れは、例えば、１３－７＝２×３ だが、
１３と７は、２の倍数でも３の倍数でもない
・・というようなことを単純に考えあぐねていたわけです。失礼しました。
（２０１２年１１月２４日、加筆修正）
なんだかすっきりしなくて考えあぐねて・・えーと・・
めんどくさい書き方をしましたが、考え方としては、
（２）と（３）の
ＡＢＣ－ＡＣＢ＝９（Ｂ－Ｃ）＝９ｈｘ
ＣＡＢ－ＣＢＡ＝９（Ａ－Ｂ）＝９ｈｙ より
ＡＢＣ，ＡＣＢ，ＣＡＢ，ＣＢＡ、の最大公約数は
９ｈ より大きくはならない
ということから、ｇ＝９ｈとして、答えを求めていく
ということでよいのかもしれません・・（？）
（２０１２年１２月２７日、さらに加筆修正）
母が介護施設にいるという状況では、
おせち料理も何も、正月を祝う気にもなりません。
年末年始はネット通販で買った保存食で済ませるつもりです。
それにしても３０食分の缶詰を３０缶と勘違いして
ダンボール箱を開けてみたら大きな１缶１５食分×２缶でした。
どうやって独りで食べればいいんだろう・・（嘆息）
ｇ＝９ｈより、ＡＢＣも ９の倍数。ゆえに
１００Ａ＋１０Ｂ＋Ｃ＝９９Ａ＋９Ｂ＋（Ａ＋Ｂ＋Ｃ） より
Ａ＋Ｂ＋Ｃ も９の倍数。------------------------------------（５）
（２）と（３）より、Ａ－Ｂ＝ｈｘ、Ｂ－Ｃ＝ｈｙ
ゆえに、Ａ，Ｂ，Ｃの差はｈの倍数。 --------------------（６）
ｈが５以上だと１～９に納まらないので
ｈは、１，２，３，４のいずれかである。 ---------------（７）
（４）～（７）を踏まえて、（Ａ，Ｂ，Ｃ）を検証する。
ｈ＝４のとき、差は４の倍数。
（９，５，１）だけ。
足して９の倍数にならない。
ｈ＝３のとき、差は３の倍数。
（９，６，３）、（８，５，２）、（７，４，１）
という３つの候補があり、
足して９の倍数になるのは（９，６，３）のみ。
しかし、９ｈ＝９×３ で割り切れず、ｇにはならない。
ｈ＝２のとき、差は２の倍数。
（９，７，５）、（９，７，３）、（９，７，１）、
（９，５，３）、（９，５，１）、（９，３，１）、
（８，６，４）、（８，６，２）、（８，４，２）、
（７，５，３）、（７，５，１）、（７，３，１）、
（６，４，２）、（５，３，１）、という候補があるが、
足して９の倍数になるのは、（８，６，４）、（５，３，１）
（８，６，４）は、
例えば、８６４＝９×２×２×２×２×２×３
ｇ＝９ｈ＝９×２＝１８ を因数に持つ。-----------------------（８）
（５，３，１）は最小公倍数は、９になり、９ｈ＝１８にならない。
ｈ＝１のときは、ｇ＝９ｈ＝９ になり、１８より小さい。
よって題意に当てはまるのは、（８）だけとなり、
３桁の整数 ｎ は、（８，６，４）の３つの数から出来る３桁の整数、
求める最大の ｇ は、１８ ---------（答え）
（２０１２年１１月２２日）
※ （ｔ－ｕ）と（ｖ－ｗ）は本当に互いに素と言えるのかどうか・・
（記号はすべて整数として）
もし上の２つ（ｔ－ｕ）と（ｖ－ｗ）が互いに素でないと仮定するなら、
共通約数をｄとすると、これだけでは、
（ｔ－ｕ）＝ｄ（ｔ’－ｕ’）とは、必ずしも書けないが-----------（９）
ｔ－ｕ＝ｄＰ, ｖ－ｗ＝ｄＱ とは書ける。
ＢＡＣ＝ｇｌ、ＢＣＡ＝ｇｍ とすると、（２）より、
ＢＡＣ－ＢＣＡ＝９（Ａ－Ｃ）＝９（Ａ－Ｂ）＋９（Ｂ－Ｃ）＝（ＡＢＣ－ＡＣＢ）＋（ＣＡＢ－ＣＢＡ）
＝ｇ（（ｔ－ｕ）＋（ｖ－ｗ））＝ｇｄ（Ｐ＋Ｑ）＝ｇ（ｌ－ｍ）
ｄ（Ｐ＋Ｑ）＝（ｌ－ｍ）となり、（ｌ－ｍ）も約数ｄを持つから、
ＢＡＣ－ＢＣＡ＝ｇｄＺ となり、（１）の２式も
ＡＢＣ－ＡＣＢ＝ｇｄＰ
ＣＡＢ－ＣＢＡ＝ｇｄＱ となり、
最大公約数を ｇ と置くことは出来ず、
ｇｄ と置かざるを得なくなってしまう---（矛盾）
やはり、ｇ を最大公約数と設定する限り
（ｔ－ｕ）と（ｖ－ｗ）は互いに素・・（？）・・ここに
「並べ替えによる６つの３桁整数」という特殊性が表れるということか・・
・・まわりくどく勘違いして書いたみたいです・・
なお、（９）は、ｔ－ｕ＝ｄ（ｔ’－ｕ’）＝ｄｔ’－ｄｕ’から
単にこの式だけ見れは、例えば、１３－７＝２×３ だが、
１３と７は、２の倍数でも３の倍数でもない
・・というようなことを単純に考えあぐねていたわけです。失礼しました。
（２０１２年１１月２４日、加筆修正）
なんだかすっきりしなくて考えあぐねて・・えーと・・
めんどくさい書き方をしましたが、考え方としては、
（２）と（３）の
ＡＢＣ－ＡＣＢ＝９（Ｂ－Ｃ）＝９ｈｘ
ＣＡＢ－ＣＢＡ＝９（Ａ－Ｂ）＝９ｈｙ より
ＡＢＣ，ＡＣＢ，ＣＡＢ，ＣＢＡ、の最大公約数は
９ｈ より大きくはならない
ということから、ｇ＝９ｈとして、答えを求めていく
ということでよいのかもしれません・・（？）
（２０１２年１２月２７日、さらに加筆修正）
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ずっと母が入所している介護施設に行く気にもなれず、
外出する気にもなれず、出前を電話やネットで頼んだり、
ネット通販で保存食などを注文したりとか、
無為な明け暮れが続いていますが、
昨日は３ヶ月ぶりに掛かりつけの病院に行って
定期薬の安定剤をもらってきて
スーパーで少し買い物をしました。
今記事を書いているのは、その余波のようなものだろうか
・・予測不能で目に見えない微小な波が
どこかに？あるようです・・こんな暮らしでも・・？
ずっと母が入所している介護施設に行く気にもなれず、
外出する気にもなれず、出前を電話やネットで頼んだり、
ネット通販で保存食などを注文したりとか、
無為な明け暮れが続いていますが、
昨日は３ヶ月ぶりに掛かりつけの病院に行って
定期薬の安定剤をもらってきて
スーパーで少し買い物をしました。
今記事を書いているのは、その余波のようなものだろうか
・・予測不能で目に見えない微小な波が
どこかに？あるようです・・こんな暮らしでも・・？
母が介護施設にいるという状況では、
おせち料理も何も、正月を祝う気にもなりません。
年末年始はネット通販で買った保存食で済ませるつもりです。
それにしても３０食分の缶詰を３０缶と勘違いして
ダンボール箱を開けてみたら大きな１缶１５食分×２缶でした。
どうやって独りで食べればいいんだろう・・（嘆息）
（２０１２年１２月２７日、加筆）
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