放り投げた物は遠く去って
二度と戻っては来ない。
そんなことが何度も何度も・・
その連なりに
幾つもの細々として貧しく
見えない光が差して来て
収束するところがある。
「パラボラ（放物線）」
パラボラアンテナは球面だとばかり思っていた。
パラボラは放物線、
パラボラアンテナは放物線の回転曲面らしい。
図１に示すように
放物線の軸（図のｙ軸）に平行な
直進する光や電波を直線（図のＡＥ）とすると、
入射角＝反射角ならば、
それらは軸上の一点（図のＤ）に収束するようだ。
接線に垂直な法線をＥＢとすると、
入射角＝反射角より
∠ＡＥＬ＝∠ＣＥＤ，∠ＡＥＢ＝∠ＤＥＢ ----------------（１）
ＡＥは、ｙ軸と平行なので
錯覚だから、∠ＡＥＢ＝∠ＤＢＥ -----------------------（２）
△ＢＥＣは直角三角形であるということと、
∠ＢＥＣが直角であるということから、
∠ＤＥＣ＝∠ＤＣＥ ----------------------------------（３）
（１）、（２）、（３）より、また図に示すように、
△ＤＥＢ，△ＤＣＥは、二等辺三角形になり、
ゆえに、ＤＢ＝ＤＥ＝ＤＣ ------------------------------（４）
つまり、ＤはＢとＣの中点になる。------------------------（４）
Ｂのｙ座標、ｄ＝（ｂ＋ｃ）／２ ------------------------（４）
この ｄ が、ｐに依存せず、定数ならば、-----------------（５）
ＡＥは、どこから入射しても、Ｄに集まると言える。---------（５）
放物線を、ｙ＝ｆ（ｘ）＝ａｘ^２ とする。（ａは定数）
ｆ’（ｘ）＝２ａｘ
ｘ＝ｐ における接線をＬＣとすると、
接点は、Ｅ（ｐ，ａ×ｐ^２）となり、
接線の傾きは、ｆ’（ｐ）＝２ａｐ
したがって接線ＬＣを式で表すと、
ｙ＝（２ａｐ）ｘ＋ｃ ---------------------------------（６）
接線ＬＣは、接点Ｅ（ｐ，ａ×ｐ^２）を通るので、
（６）に代入して、
ａｐ^２＝２ａｐ^２＋ｃ
ゆえに、ｃ＝－ａｐ^２ ---------------------------------（７）
法線ＥＢの傾きは、
（６）の接線ＬＣの傾きの負の逆数なので、
法線ＥＢを式で表すと、
ｙ＝（－１／２ａｐ）ｘ＋ｂ ----------------------（８）
法線ＥＢも、接点Ｅ（ｐ，ａ×ｐ^２）を通るので、
（８）に代入して、
ａｐ^２＝（－１／２ａｐ）ｐ＋ｂ＝（－１／２ａ）＋ｂ
ゆえに、ｂ＝ａｐ^２＋１／（２ａ） ---------------------（９）
（４）、（７）、（９）、より、
ｄ＝（ｂ＋ｃ）／２ ＝ １／（４ａ） ----------（１０）
（５）、（１０）、より、
Ｄ（０，ｄ）の、ｄは、ｐに依存せず定数なので、
ＡＥは、どこから入射しても、Ｄに集まると言える。
つまり、Ｄは、光や電波の集まる焦点ということになる。
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久しぶりに数学の基本的なところを考えてみました。
直進する光や電波を直線（図のＡＥ）とすると、
入射角＝反射角ならば、
それらは軸上の一点（図のＤ）に収束するようだ。
接線に垂直な法線をＥＢとすると、
入射角＝反射角より
∠ＡＥＬ＝∠ＣＥＤ，∠ＡＥＢ＝∠ＤＥＢ ----------------（１）
ＡＥは、ｙ軸と平行なので
錯覚だから、∠ＡＥＢ＝∠ＤＢＥ -----------------------（２）
△ＢＥＣは直角三角形であるということと、
∠ＢＥＣが直角であるということから、
∠ＤＥＣ＝∠ＤＣＥ ----------------------------------（３）
（１）、（２）、（３）より、また図に示すように、
△ＤＥＢ，△ＤＣＥは、二等辺三角形になり、
ゆえに、ＤＢ＝ＤＥ＝ＤＣ ------------------------------（４）
つまり、ＤはＢとＣの中点になる。------------------------（４）
Ｂのｙ座標、ｄ＝（ｂ＋ｃ）／２ ------------------------（４）
この ｄ が、ｐに依存せず、定数ならば、-----------------（５）
ＡＥは、どこから入射しても、Ｄに集まると言える。---------（５）
放物線を、ｙ＝ｆ（ｘ）＝ａｘ^２ とする。（ａは定数）
ｆ’（ｘ）＝２ａｘ
ｘ＝ｐ における接線をＬＣとすると、
接点は、Ｅ（ｐ，ａ×ｐ^２）となり、
接線の傾きは、ｆ’（ｐ）＝２ａｐ
したがって接線ＬＣを式で表すと、
ｙ＝（２ａｐ）ｘ＋ｃ ---------------------------------（６）
接線ＬＣは、接点Ｅ（ｐ，ａ×ｐ^２）を通るので、
（６）に代入して、
ａｐ^２＝２ａｐ^２＋ｃ
ゆえに、ｃ＝－ａｐ^２ ---------------------------------（７）
法線ＥＢの傾きは、
（６）の接線ＬＣの傾きの負の逆数なので、
法線ＥＢを式で表すと、
ｙ＝（－１／２ａｐ）ｘ＋ｂ ----------------------（８）
法線ＥＢも、接点Ｅ（ｐ，ａ×ｐ^２）を通るので、
（８）に代入して、
ａｐ^２＝（－１／２ａｐ）ｐ＋ｂ＝（－１／２ａ）＋ｂ
ゆえに、ｂ＝ａｐ^２＋１／（２ａ） ---------------------（９）
（４）、（７）、（９）、より、
ｄ＝（ｂ＋ｃ）／２ ＝ １／（４ａ） ----------（１０）
（５）、（１０）、より、
Ｄ（０，ｄ）の、ｄは、ｐに依存せず定数なので、
ＡＥは、どこから入射しても、Ｄに集まると言える。
つまり、Ｄは、光や電波の集まる焦点ということになる。
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久しぶりに数学の基本的なところを考えてみました。
（２０１３年０５月０２日）
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