昔々習った高校数学では、
 
平方数の和は、
 (k+1)^3 - k^3 の和から計算して、
   n(n+1)(2n+1)/6
あるいは、書き換えると、
  (n(n+1)(n+2)/3)-(n(n+1)/2)
という結果が出る。それをもとにして、
 
立方数の和は、
 (k+1)^4 - k^4 の和から計算して、
 (n(n+1)/2)^2
という結果が出る。
 
特に立方数の和については、
1^3+2^3+3^3+・・+n^3=(n(n+1)/2)^2
   =(1+2+3+・・+n)^2   ---------------------(3)
という
「3乗の和」が「和の2乗」になる
のが、あまりにきれいで、不思議でならなかった。
何とか数式の中に表れないものか・・と考えてみたことがあった。
 
イメージ 1

ということで、(2)より、上の(3)を帰納して、
証明となると、数学的帰納法で、
n=k のとき成立なら、
n=k+1 のとき、3乗の和は、
(k(k+1)/2)^2+(k+1)^3
 =((k+1)^2)((k^2/4)+(k+1))
 =((k+1)^2)(k^2+4k+4)/4
 =(k+1)^2(k+2)^2/4
 =((k+1)((k+1)+1))/2)^2
となり、n=k+1 のときも成立ということになる。
 
 
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最近の私は古い頭と心がクモの巣だらけになって、
緊張しながら、ぼんやりしていて、
考えることも感じることもままならず、
今日も、辛うじて、
ずっと前に考えた数学に逃げている・・。
 
しかし、ともかくも、相手がどうあれ、
ほんの少数だが、消えて欲しくない人がいるので、
クリックしたり、アクセスしたり、メール返信したり、
細い通気孔に手を伸ばそうとして失敗し続けている。
 
自分は何故造られ生まれ生きたのか、
さっぱり分からないまま・・今日与えられたものを
むさぼりながら、恥ずかしくも一日を長らえているのだ・・
 
(2013年06月10日)
(2013年08月15日、図を修正)