日曜日は、
母が介護施設から職員同伴で帰ってきた。
一緒に施設が用意してくれた弁当を食べたのはよいが、
母は部屋をごそごそ片付け始めた・・つもりらしい。
早速、口げんか・・耳の遠い母に私は
大声で怒鳴らなければならなかった。
ひどいことを言った。それでも、お互いの話は
すれ違うばかりで理解も納得もない。
投票には行かなかった。
気が滅入っていた。
しかしそれは投票しなかった理由にはならない。
結果は大体分かっていて諦めていたし、その通りになった。
しかしそれも理由にはならない。
なぜなら高校レベルの数学をごちゃごちゃと考えて
ノートに書くことはしていたのだから。
投票しなかったのは怠慢だ。
その気にならなかっただけだ。
カルタゴ？の３次方程式一般解法を私は使えないので、
高校レベルで解けそうな３次方程式を書いてみました。
というより、前に書いた「立方数の和の公式」
を考えて続けているうちに出てきたものですが・・
「３次方程式・立方数の和（高校レベル）」
立方数の和については、きれいな公式
１^３＋２^３＋・・・＋ｎ^３＝（ｎ（ｎ＋１）／２）^２ -----（１）
がある。この（１）を用いて、
ｎ^３＋（ｎ＋１）^３
＝（（ｎ＋１）^３ までの和）－（（ｎ－１）^３ までの和）
＝（（ｎ＋１）（ｎ＋２）／２）^２－（（ｎ（ｎ－１）／２）^２ ---（２）
のように、連続整数の
立方数の和は、平方数の差で表されることが分かる。
ｎ＝３を代入すると、
３^３＋４^３＝（４×５／２）^２－（２×３／２）^２
＝ １０^２－３^２ （ ＝１００－９＝９１ ） ---（３）
ところが、
（２）のｎに、小数 ３．５ を代入しても、
右辺も左辺も、１３４ になり、（２）は成立する。
（２）のｎに、虚数単位 ｉ を代入しても、
右辺も左辺も、－２＋ｉ になり、（２）は成立する。 ----------（４）
そこで、・・
問題１ ：
未知数をＴとして、
方程式 ２Ｔ^３＋３Ｔ^２＋３Ｔ＋１＝０ ----------------（５）
解答例１ ：
左辺＝Ｔ^３＋（Ｔ＋１）^３＝０ という方程式。 ---------（６）
（２）（４）を参考にして、
（（Ｔ＋１）（Ｔ＋２）／２）^２－（（Ｔ（Ｔ－１）／２）^２
＝（１／４）×（（Ｔ^２＋３Ｔ＋２）^２－（Ｔ^２－Ｔ）^２）
（ Ａ^２－Ｂ^２＝（Ａ＋Ｂ）（Ａ－Ｂ）で因数分解して ）
＝（１／４）（Ｔ^２＋３Ｔ＋２＋Ｔ^２－Ｔ）（Ｔ^２＋３Ｔ＋２－Ｔ^２＋Ｔ）
＝（１／４）（２Ｔ^２＋２Ｔ＋２）（４Ｔ＋２）
＝（Ｔ^２＋Ｔ＋１）（２Ｔ＋１） ------------------------（７）
＝２Ｔ^３＋３Ｔ^２＋３Ｔ＋１ ＝（問題１の（５）左辺）
となるので、（７）より
（Ｔ^２＋Ｔ＋１）（２Ｔ＋１）＝０ を解けばよい。
ゆえに解は、Ｔ＝（－１±ｉ√３）／２、－１／２ --------（８）（答え）
問題１の解答例の検算代わりに、もっと簡単な別解として、
（６）より、方程式は、
（Ｔ＋１）^３－（－Ｔ）^３＝０ -------------------------（９）
ゆえに（９）の左辺は、
（（Ｔ＋１）－（－Ｔ））（（Ｔ＋１）^２＋（Ｔ＋１）（－Ｔ）＋（－Ｔ）^２）
＝（２Ｔ＋１）（Ｔ^２＋２Ｔ＋１－Ｔ^２－Ｔ＋Ｔ^２）
＝（２Ｔ＋１）（Ｔ^２＋Ｔ＋１） となるので
（７）と同じになり、解は（８）と同じになる。
問題２ ：
未知数をＴ、正の整数をｍとして、３次方程式
Ｔ^３＋（Ｔ＋１）^３＋（Ｔ＋２）^３＋・・・＋（Ｔ＋ｍ）^３＝０ ---（１０）
解答例２ ：
問題の（１０）の左辺＝
（（Ｔ＋ｍ）（Ｔ＋ｍ＋１）／２）^２－（（Ｔ（Ｔ－１）／２）^２ ---（１１）
が成り立つようだ。
（感覚的には、正の整数ｎの和の公式で成り立つことが、
複素数の範囲もあり得るＴでも成り立つというのが、・・
いまいち・・ぴんとこないのだが・・）
証明は、
（１０）の左辺を展開整理すると、
Ｔ^３は（ｍ＋１）個、
他の係数は、１からｍの和、平方数の和、立方数の和に
それぞれ方程式の係数を掛けた式になる。
（１１）を展開整理すると、
Ｔ^４の項は消えて、４次式ではなく、３次式になる。
問題１と同じように因数分解して式の掛け算をして、・・
結局、（１０）の左辺と（１１）は、
（ｍ＋１）Ｔ^３＋（３／２）ｍ（ｍ＋１）Ｔ^２
＋（１／２）ｍ（ｍ＋１）（２ｍ＋１）Ｔ＋（ｍ（ｍ＋１）／２）^２
という同じ式になる。これで
（１０）の左辺＝（１１）、
Ｔ^３＋（Ｔ＋１）^３＋（Ｔ＋２）^３＋・・・＋（Ｔ＋ｍ）^３＝
（（Ｔ＋ｍ）（Ｔ＋ｍ＋１）／２）^２－（（Ｔ（Ｔ－１）／２）^２ ---（１２）
が証明されたと言える。
あとは（１２）右辺を因数分解した式を整理した式、
（１／４）（２Ｔ^２＋２ｍＴ＋ｍ^２＋ｍ）（（２ｍ＋２）Ｔ＋ｍ^２＋ｍ）＝０
を解けばよい。
問題２の解は、
Ｔ＝（－２ｍ±√（４ｍ^２－４・２（ｍ^２＋ｍ））／４
＝（－ｍ±√（－ｍ^２－２ｍ））／２ ---------------（１３）（答え）
と、Ｔ＝－（ｍ^２＋ｍ）／（２ｍ＋２） ---------------（１３）（答え）
の、３つの解となる。
もっと簡単な方法があるかもしれません・・
この（１３）を問題１に当てはめてみると、
ｍ＝１ の場合になるので、（１３）に代入して、
Ｔ＝（－１±√（－１－２））／２
＝（－１±ｉ√３）／２
Ｔ＝－（１＋１）／（２＋２）＝－１／２ となり、
問題１の（８）の３つの解と一致する。
おまけ問題３ ：
ここのテーマとは関係はないですが、
テレビ「たけしのコマ大数学科」の問題解法プロセスで
出てきた３次方程式を書いておきます。
２Ｔ^３－８７Ｔ－７７＝０
解答例３ ：
これはどうしようもない・・これを解けってか・・と思いましたが・・
整数解が１つあれば、（Ｔ－整数解）で与式左辺を割れば
あとは２次方程式になります。
つまり整数方程式として解いてみる。
与式を書き換えると、 Ｔ（２Ｔ^２－８７）＝７７
７７＝１１×７だから
整数Ｔになりうるのは、１，７，１１，７７、の４つ。
７×（２×４９－８７）＝７×１１＝７７
与式を満たすのは、この Ｔ＝７ のみ。
Ｔ＝７は解なので、（Ｔ－７）で与式左辺を割って、
与式は、（Ｔ－７）（２Ｔ^２＋１４Ｔ＋１１）＝０
ゆえに、Ｔ＝（－１４±√（１４^２－４・２・１１）／４
＝（－１４±√（１９６－８８））／４
＝（－１４±√１０８）／４
＝（－１４±√（４・９・３））／４
＝（－７±３√３）／２
解は、Ｔ＝７、（－７±３√３）／２ の３つ。
（２０１３年０７月２３日、同日少し修正）
が成り立つようだ。
（感覚的には、正の整数ｎの和の公式で成り立つことが、
複素数の範囲もあり得るＴでも成り立つというのが、・・
いまいち・・ぴんとこないのだが・・）
証明は、
（１０）の左辺を展開整理すると、
Ｔ^３は（ｍ＋１）個、
他の係数は、１からｍの和、平方数の和、立方数の和に
それぞれ方程式の係数を掛けた式になる。
（１１）を展開整理すると、
Ｔ^４の項は消えて、４次式ではなく、３次式になる。
問題１と同じように因数分解して式の掛け算をして、・・
結局、（１０）の左辺と（１１）は、
（ｍ＋１）Ｔ^３＋（３／２）ｍ（ｍ＋１）Ｔ^２
＋（１／２）ｍ（ｍ＋１）（２ｍ＋１）Ｔ＋（ｍ（ｍ＋１）／２）^２
という同じ式になる。これで
（１０）の左辺＝（１１）、
Ｔ^３＋（Ｔ＋１）^３＋（Ｔ＋２）^３＋・・・＋（Ｔ＋ｍ）^３＝
（（Ｔ＋ｍ）（Ｔ＋ｍ＋１）／２）^２－（（Ｔ（Ｔ－１）／２）^２ ---（１２）
が証明されたと言える。
あとは（１２）右辺を因数分解した式を整理した式、
（１／４）（２Ｔ^２＋２ｍＴ＋ｍ^２＋ｍ）（（２ｍ＋２）Ｔ＋ｍ^２＋ｍ）＝０
を解けばよい。
問題２の解は、
Ｔ＝（－２ｍ±√（４ｍ^２－４・２（ｍ^２＋ｍ））／４
＝（－ｍ±√（－ｍ^２－２ｍ））／２ ---------------（１３）（答え）
と、Ｔ＝－（ｍ^２＋ｍ）／（２ｍ＋２） ---------------（１３）（答え）
の、３つの解となる。
もっと簡単な方法があるかもしれません・・
この（１３）を問題１に当てはめてみると、
ｍ＝１ の場合になるので、（１３）に代入して、
Ｔ＝（－１±√（－１－２））／２
＝（－１±ｉ√３）／２
Ｔ＝－（１＋１）／（２＋２）＝－１／２ となり、
問題１の（８）の３つの解と一致する。
おまけ問題３ ：
ここのテーマとは関係はないですが、
テレビ「たけしのコマ大数学科」の問題解法プロセスで
出てきた３次方程式を書いておきます。
２Ｔ^３－８７Ｔ－７７＝０
解答例３ ：
これはどうしようもない・・これを解けってか・・と思いましたが・・
整数解が１つあれば、（Ｔ－整数解）で与式左辺を割れば
あとは２次方程式になります。
つまり整数方程式として解いてみる。
与式を書き換えると、 Ｔ（２Ｔ^２－８７）＝７７
７７＝１１×７だから
整数Ｔになりうるのは、１，７，１１，７７、の４つ。
７×（２×４９－８７）＝７×１１＝７７
与式を満たすのは、この Ｔ＝７ のみ。
Ｔ＝７は解なので、（Ｔ－７）で与式左辺を割って、
与式は、（Ｔ－７）（２Ｔ^２＋１４Ｔ＋１１）＝０
ゆえに、Ｔ＝（－１４±√（１４^２－４・２・１１）／４
＝（－１４±√（１９６－８８））／４
＝（－１４±√１０８）／４
＝（－１４±√（４・９・３））／４
＝（－７±３√３）／２
解は、Ｔ＝７、（－７±３√３）／２ の３つ。
（２０１３年０７月２３日、同日少し修正）
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