通り過ぎようとして
何気なく目に止まったものが、
私をこの世に引きとめる。
それは些細なことで、
遊びと言えば遊びだし、
考えていると言えば考えていて、
かといって首と頭を９０°傾けても
日々の暮らしが変わるわけでもないのに。
違うことをやっていて出てきた変な整数方程式か
覆面算のようなものですが、
一般的に解こうとすると、結構めんどくさかったです。
問題１： Ａ，Ｂを整数として、７Ａ＋１＝１０^Ｂ を解き、
また、解が無数にあることを示せ。
解答例１：
まず一見して、Ａ＝Ｂ＝０ は解。 -------------------------------------（１）
整数 Ａ＜０ ならば、左辺＜０、右辺＞０ となり、
また、Ｂ＜０ ならば、右辺は正だが整数とならず、
どちらも与式は成立しない。
つまり、ＡもＢも正の整数である。
与式より、 ７Ａ＝１０^Ｂ－１ → ７＝（１０^Ｂ－１）／Ａ
ゆえに、逆数を取って、 １／７＝Ａ／（１０^Ｂ－１） ---------（２）
※（よかったら、「無限循環小数」参照・・）
http://note.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/n202560
何気なく目に止まったものが、
私をこの世に引きとめる。
それは些細なことで、
遊びと言えば遊びだし、
考えていると言えば考えていて、
かといって首と頭を９０°傾けても
日々の暮らしが変わるわけでもないのに。
違うことをやっていて出てきた変な整数方程式か
覆面算のようなものですが、
一般的に解こうとすると、結構めんどくさかったです。
問題１： Ａ，Ｂを整数として、７Ａ＋１＝１０^Ｂ を解き、
また、解が無数にあることを示せ。
解答例１：
まず一見して、Ａ＝Ｂ＝０ は解。 -------------------------------------（１）
整数 Ａ＜０ ならば、左辺＜０、右辺＞０ となり、
また、Ｂ＜０ ならば、右辺は正だが整数とならず、
どちらも与式は成立しない。
つまり、ＡもＢも正の整数である。
与式より、 ７Ａ＝１０^Ｂ－１ → ７＝（１０^Ｂ－１）／Ａ
ゆえに、逆数を取って、 １／７＝Ａ／（１０^Ｂ－１） ---------（２）
※（よかったら、「無限循環小数」参照・・）
http://note.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/n202560
http://blogs.yahoo.co.jp/st5402jp/8512343.html
（２）左辺、１／７＝１÷７ は実際計算してみると、
０．１４２８５７・・・
つまり、１４２８５７ を繰り返す無限循環小数。
ということは、（２）は、
１４２８５７／９９９９９９＝１４２８５７／（１０^６－１）-----（３）
ということになり、（２）より、
Ａ＝１４２８５７，Ｂ＝６ は解の１つ。
しかし、（３）は、
１４２８５７１４２８５７／（１０^１２－１）
とも書けるので、
Ａ＝１４２８５７１４２８５７，Ｂ＝１２ も解の１つ。
これを考えていくと、解は一般に、任意の正の整数を ｎ として
ここだけの表記の仕方で申し訳ないが、
Ａ＝「シグマ（ｋ＝１からｎ）（１４２８５７×１０^（６（ｋ－１））」 ----------------（４）
Ｂ＝６ｎ -----------------------（４）
ということになる。ｎの任意性から解は無数に存在する。
したがって、（１）と（４）が解ということになる。
（他に解があったらアドバイスくださいませ・・）
問題２： 十進法表記で３桁の正の整数、
ＡＢＣ＝Ｂ^Ｃ－Ａ
解答例２：
与式より、 ＡＢＣ＋Ａ＝Ｂ^Ｃ ---------------------------------（５）
十進数３桁 ＡＢＣ より、Ａは、０ではなく、１～９
Ｂが、０，１、では成立しない。Ｂは、２～９
Ｃが、０では成立しない。
Ｃが、１では、与式右辺＝（１桁の整数）－（１桁の整数）
これでは左辺の３桁にはならない。Ｃも、２～９
（５）左辺は、９９９＋９＝１００８ を超えない。
以上の条件で、３桁～１００８のＢ^Ｃを探してみる。
あとは単純作業・・与式と（５）を見ながら、
Ａが１～９のどれになりうるかを考えながら・・
（２）左辺、１／７＝１÷７ は実際計算してみると、
０．１４２８５７・・・
つまり、１４２８５７ を繰り返す無限循環小数。
ということは、（２）は、
１４２８５７／９９９９９９＝１４２８５７／（１０^６－１）-----（３）
ということになり、（２）より、
Ａ＝１４２８５７，Ｂ＝６ は解の１つ。
しかし、（３）は、
１４２８５７１４２８５７／（１０^１２－１）
とも書けるので、
Ａ＝１４２８５７１４２８５７，Ｂ＝１２ も解の１つ。
これを考えていくと、解は一般に、任意の正の整数を ｎ として
ここだけの表記の仕方で申し訳ないが、
Ａ＝「シグマ（ｋ＝１からｎ）（１４２８５７×１０^（６（ｋ－１））」 ----------------（４）
Ｂ＝６ｎ -----------------------（４）
ということになる。ｎの任意性から解は無数に存在する。
したがって、（１）と（４）が解ということになる。
（他に解があったらアドバイスくださいませ・・）
問題２： 十進法表記で３桁の正の整数、
ＡＢＣ＝Ｂ^Ｃ－Ａ
解答例２：
与式より、 ＡＢＣ＋Ａ＝Ｂ^Ｃ ---------------------------------（５）
十進数３桁 ＡＢＣ より、Ａは、０ではなく、１～９
Ｂが、０，１、では成立しない。Ｂは、２～９
Ｃが、０では成立しない。
Ｃが、１では、与式右辺＝（１桁の整数）－（１桁の整数）
これでは左辺の３桁にはならない。Ｃも、２～９
（５）左辺は、９９９＋９＝１００８ を超えない。
以上の条件で、３桁～１００８のＢ^Ｃを探してみる。
あとは単純作業・・与式と（５）を見ながら、
Ａが１～９のどれになりうるかを考えながら・・
なお、ＡＢＣ と、ＡＢＣ＋Ａ とを比べてみると、
百の位が変わるのは、つまり、
ＡＢＣ＋Ａ の百の位が、ＡＢＣ の百の位 Ａ より増えるのは、
ＡＢＣ の十の位 Ｂ が ９ で、 Ｃ＋Ａ≧１０ のときだけであるが、
その場合、ＡＢＣ＋Ａ の十の位は ０ になっているはずである。
それを考えに入れて計算を進めると、次に示すように
百の位の変化はないということになる。
Ｂ^Ｃ ＝ ＡＢＣ＋Ａ、 ＡＢＣ、
２^７ ＝ １２８ １２７ （正解） --------------------（６）
２^８ ＝ ２５６ ２５４ （×）
２^９ ＝ ５１２ ５０７ （×）
３^５ ＝ ２４３ ２４１ （×）
３^６ ＝ ７２９ ７２２ （×）
４^４ ＝ ２５６ ２５４ （×）
５^５ ＝ ６２５ ６１９ （×）
６^３ ＝ ２１６ ２１４ （×）
７^３ ＝ ３４３ ３４０ （×）
８^３ ＝ ５１２ ５０７ （×）
９^３ ＝ ７２９ ７２２ （×）
以上より、Ａ＝１，Ｂ＝２，Ｃ＝７，のみが答えとなる。
一見して、１２７＝２^７－１ を思いつく人もいるだろうけど、
ここでは、他に解がないことを示すために
与式から、Ａ，Ｂ，Ｃ，の条件をしぼってゆくことにしました。
（２０１３年０８月１７日）
（２０１３年０８月２７日、一部修正）
コメント