一見簡単そうな問題は 
 答えがいっぱいあり過ぎて 
 答えが何個あるのか 
 数えて整理するのも一苦労 
 それで精一杯になってしまう
 
 
問題: n進法の3桁の整数について
 
     ABC+CBA=DDD
 
 ABCとDの解の組は何個あるでしょう。
 
 
解答例: 
       ABC
     + CBA
    ―――――――
       DDD   という問題
 
 3桁の整数だから、A,C,D、は、0 ではない。
 n進法だから、A,B,C,D、は、nより小さい。
  A+C が、繰り上がるなら、4桁になるので、
 A+C は、繰り上がらない。A+C=D
  したがってC+A も繰り上がらないので、
  B+B が、繰り上がると、下1桁目と3桁目が同じDにならないので、
 B+B は、繰り上がらない。
 ゆえに、2B=D
                 ----------------以上を(1)とする。
 
 
まず十進法で考えてみる。(1)より、1~9を考えればよい。
 
A,B,C、が相異なる整数の場合、(1)より、2B=D=A+C からも、
(A-B)=(B-C) つまり、Bを中心に、AとCは等間隔。
 
  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
 
この中で、Bとなりうるのは、2,3,4、のみである。
(1,9、は、端なので、AとCが存在しない。
 また、5以上は、2B=10以上になるので繰り上がってしまう。)
 
(ABC,D)=(123,4)、(321,4)、
  (135,6)、(531,6)、(234,6)、(432,6)、
  (147,8)、(741,8)、(246,8)、(642,8)、
  (345,8)、(543,8)の12通り。
 
次に、A=B=C の場合、1,2,3,4 の4通り。
 
以上を足して、12+4=16個ということになる。---------------(10)
 
 
 
上を参考に、(1)を考えて、
 
       ABC
     + CBA
    ―――――――
       DDD   という問題
 
n進法の場合を考える。n進法1桁の数は、nより小さい。
n進法で、nは、n進法表記では、10という2桁の整数。
n進法1桁の整数は、0を除けば、1から(n-1)まで。
 

Bが中心になるので、 n が偶数か奇数かに分ける。
 
n が偶数のとき、n/2 は、整数である。
 
A,B,C、が相異なる整数のとき、
  
  1,2,3、・・・、(n/2-1)、n/2、・・・、(n-1)
 
Bとなりうるのは、
 2 から (n/2-1)=(n-2)/2 まで。-----------------(2)
 (n/2 以上は、2B=n 以上になるので繰り上がってしまう)
 
ABCの個数は、Bより小さい数、つまり左側にある整数の個数の和、
ただし、AとCは、入れ替え可能なので、その2倍になる。
 
ゆえに(2)より、2×(1+2+3+・・・+((n-2)/2-1))
  =2×「シグマ(k=1から((n-2)/2-1)k」
  =2×「シグマ(k=1から((n-4)/2)k」
  =2×((n-4)/2)((n-4)/2+1)×(1/2)
  =((n-4)/2)((n-2)/2)
  =(n-4)(n-2)/4  ----------------------------------(3)
 
A=B=C の場合、
 1から(n-2)/2 までの個数、すなわち、(n-2)/2 個。-----(4)
 
(3)と(4)を足して、
  (n-4)(n-2)/4 +(n-2)/2
    =((n-2)/2)((n-4)/2 +1)
 
    =((n-2)/2)^2  と、平方数になる。---------------------(5)
 
 
n が奇数の場合、(n-1)/2 は、整数である。
 
 1,2,3、・・・、(n-1)/2、(n+1)/2、・・・、(n-1)
  
Bとなりうるのは、2 から (n-1)/2 まで。------------------------(6)
((n+1)/2以上は、2B=nより大きくなるので繰り上がってしまう)
 
ABCの個数は、Bより小さい数、つまり左側にある整数の個数の和、
ただし、AとCは、入れ替え可能なので、その2倍になる。
 
ゆえに(2)より、2×(1+2+3+・・・+((n-1)/2-1))
  =2×「シグマ(k=1から((n-1)/2-1)k」
  =2×「シグマ(k=1から((n-3)/2)k」
  =2×((n-3)/2)((n-3)/2+1)×(1/2)
  =((n-3)/2)((n-1)/2)
  =(n-3)(n-1)/4  ----------------------------------(7)
 
A=B=C の場合、
 1から(n-1)/2 までの個数、すなわち、(n-1)/2 個。-----(8)
 
(7)と(8)を足して、
  (n-3)(n-1)/4 +(n-1)/2
    =((n-1)/2)((n-3)/2 +1)
 
    =((n-1)/2)^2  と、平方数になる。---------------------(9)
 
 
まとめると、ABC、D の個数は、(5)と(9)より、
 
  nが偶数のとき、((n-2)/2)^2
  nが奇数のとき、((n-1)/2)^2
   という結果でした。いずれも平方数になるようです。----以上(解答例)
   なぜ平方数になるのかな?・・もっと簡単に?・・
 
検算として、十進法の場合、n=10 を
偶数なので、上の式に代入すると、
 ((10-2)/2)^2 = 4^2 =16
これは、上のほうの(10)の結果と一致する。
 
ちなみに、2進法には解はなく、
実際に使われるのは聞いたことがないが、
3進法では、ABC=CBA=111、DDD=222 のみが解になるようです。
 
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もう少し分かりやすく、説明を試みてみると、
 
Bとなりうる最大の整数をNとすると、
Nは、nの2分の1より小さい整数の最大値ということになります。
nが偶数のときN=(n-2)/2、nが奇数のときN=(n-1)/2
 
A,B,C、が等間隔の異なる数値の場合、
Bは、2からNまでの数値を取り、それによってAとなりうる整数が決まり、
それによってCもDも決まるので、解が決まり、解の個数が決まります。
AまたはCの個数が解の個数になります。そして、
 
数えているのは、整数の数値ではなく、解となるAの個数だということです。
 
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勘違い計算間違いなどあるかもしれないので
アドバイスいただければ幸いです。
 
この1週間は1日1回のペースで更新・・珍しい・・
 
(2013年08月21日、同日若干修正)
(2013年08月22日、一部修正加筆)
(2013年08月23日、一部修正)
(2013年08月27日、図の一部修正)