ＡＢＣ＋ＣＢＡ＝ＤＤＤ : ウソの国

　一見簡単そうな問題は　
　答えがいっぱいあり過ぎて　
　答えが何個あるのか　
　数えて整理するのも一苦労　
　それで精一杯になってしまう
　
　
問題：　ｎ進法の３桁の整数について
　
　　　　　ＡＢＣ＋ＣＢＡ＝ＤＤＤ
　
　ＡＢＣとＤの解の組は何個あるでしょう。
　
　
解答例：　
　　　　　　　ＡＢＣ
　　　　＋　ＣＢＡ
　　　　―――――――
　　　　　　　ＤＤＤ　　　という問題
　
　３桁の整数だから、Ａ，Ｃ，Ｄ、は、０　ではない。
　ｎ進法だから、Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ、は、ｎより小さい。
　　Ａ＋Ｃ　が、繰り上がるなら、４桁になるので、
　Ａ＋Ｃ　は、繰り上がらない。Ａ＋Ｃ＝Ｄ
　　したがってＣ＋Ａ　も繰り上がらないので、
　　Ｂ＋Ｂ　が、繰り上がると、下１桁目と３桁目が同じＤにならないので、
　Ｂ＋Ｂ　は、繰り上がらない。
　ゆえに、２Ｂ＝Ｄ
　　　　　　　　　　　　　　　　　----------------以上を（１）とする。
　
　
まず十進法で考えてみる。（１）より、１～９を考えればよい。
　
Ａ，Ｂ，Ｃ、が相異なる整数の場合、（１）より、２Ｂ＝Ｄ＝Ａ＋Ｃ　からも、
（Ａ－Ｂ）＝（Ｂ－Ｃ）　つまり、Ｂを中心に、ＡとＣは等間隔。
　
　　１，　２，　３，　４，　５，　６，　７，　８，　９
　
この中で、Ｂとなりうるのは、２，３，４、のみである。
（１，９、は、端なので、ＡとＣが存在しない。
　また、５以上は、２Ｂ＝１０以上になるので繰り上がってしまう。）
　
（ＡＢＣ，Ｄ）＝（１２３，４）、（３２１，４）、
　　（１３５，６）、（５３１，６）、（２３４，６）、（４３２，６）、
　　（１４７，８）、（７４１，８）、（２４６，８）、（６４２，８）、
　　（３４５，８）、（５４３，８）の１２通り。
　
次に、Ａ＝Ｂ＝Ｃ　の場合、１，２，３，４　の４通り。
　
以上を足して、１２＋４＝１６個ということになる。---------------（１０）
　
　
　
上を参考に、（１）を考えて、
　
　　　　　　　ＡＢＣ
　　　　＋　ＣＢＡ
　　　　―――――――
　　　　　　　ＤＤＤ　　　という問題
　
ｎ進法の場合を考える。ｎ進法１桁の数は、ｎより小さい。

ｎ進法で、ｎは、ｎ進法表記では、１０という２桁の整数。
ｎ進法１桁の整数は、０を除けば、１から（ｎ－１）まで。
　
Ｂが中心になるので、　ｎ　が偶数か奇数かに分ける。
　
ｎ　が偶数のとき、ｎ／２　は、整数である。
　
Ａ，Ｂ，Ｃ、が相異なる整数のとき、
　　
　　１，２，３、・・・、（ｎ／２－１）、ｎ／２、・・・、（ｎ－１）
　
Ｂとなりうるのは、
　２　から　（ｎ／２－１）＝（ｎ－２）／２　まで。-----------------（２）
　（ｎ／２　以上は、２Ｂ＝ｎ　以上になるので繰り上がってしまう）
　
ＡＢＣの個数は、Ｂより小さい数、つまり左側にある整数の個数の和、
ただし、ＡとＣは、入れ替え可能なので、その２倍になる。
　
ゆえに（２）より、２×（１＋２＋３＋・・・＋（（ｎ－２）／２－１））
　　＝２×「シグマ（ｋ＝１から（（ｎ－２）／２－１）ｋ」
　　＝２×「シグマ（ｋ＝１から（（ｎ－４）／２）ｋ」
　　＝２×（（ｎ－４）／２）（（ｎ－４）／２＋１）×（１／２）
　　＝（（ｎ－４）／２）（（ｎ－２）／２）
　　＝（ｎ－４）（ｎ－２）／４　　----------------------------------（３）
　
Ａ＝Ｂ＝Ｃ　の場合、
　１から（ｎ－２）／２　までの個数、すなわち、（ｎ－２）／２　個。-----（４）
　
（３）と（４）を足して、
　　（ｎ－４）（ｎ－２）／４　＋（ｎ－２）／２
　　　　＝（（ｎ－２）／２）（（ｎ－４）／２　＋１）
　
　　　　＝（（ｎ－２）／２）^２　　と、平方数になる。---------------------（５）
　
　
ｎ　が奇数の場合、（ｎ－１）／２　は、整数である。
　
　１，２，３、・・・、（ｎ－１）／２、（ｎ＋１）／２、・・・、（ｎ－１）
　　
Ｂとなりうるのは、２　から　（ｎ－１）／２　まで。------------------------（６）
（（ｎ＋１）／２以上は、２Ｂ＝ｎより大きくなるので繰り上がってしまう）
　
ＡＢＣの個数は、Ｂより小さい数、つまり左側にある整数の個数の和、
ただし、ＡとＣは、入れ替え可能なので、その２倍になる。
　
ゆえに（２）より、２×（１＋２＋３＋・・・＋（（ｎ－１）／２－１））
　　＝２×「シグマ（ｋ＝１から（（ｎ－１）／２－１）ｋ」
　　＝２×「シグマ（ｋ＝１から（（ｎ－３）／２）ｋ」
　　＝２×（（ｎ－３）／２）（（ｎ－３）／２＋１）×（１／２）
　　＝（（ｎ－３）／２）（（ｎ－１）／２）
　　＝（ｎ－３）（ｎ－１）／４　　----------------------------------（７）
　
Ａ＝Ｂ＝Ｃ　の場合、
　１から（ｎ－１）／２　までの個数、すなわち、（ｎ－１）／２　個。-----（８）
　
（７）と（８）を足して、
　　（ｎ－３）（ｎ－１）／４　＋（ｎ－１）／２
　　　　＝（（ｎ－１）／２）（（ｎ－３）／２　＋１）
　
　　　　＝（（ｎ－１）／２）^２　　と、平方数になる。---------------------（９）
　
　
まとめると、ＡＢＣ、Ｄ　の個数は、（５）と（９）より、
　
　　ｎが偶数のとき、（（ｎ－２）／２）^２
　　ｎが奇数のとき、（（ｎ－１）／２）^２
　　　という結果でした。いずれも平方数になるようです。－－－－以上（解答例）
　　　なぜ平方数になるのかな？・・もっと簡単に？・・
　
検算として、十進法の場合、ｎ＝１０　を
偶数なので、上の式に代入すると、
　（（１０－２）／２）^２　＝　４^２　＝１６
これは、上のほうの（１０）の結果と一致する。

ちなみに、２進法には解はなく、

実際に使われるのは聞いたことがないが、

３進法では、ＡＢＣ＝ＣＢＡ＝１１１、ＤＤＤ＝２２２　のみが解になるようです。
　
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もう少し分かりやすく、説明を試みてみると、

　
Ｂとなりうる最大の整数をＮとすると、
Ｎは、ｎの２分の１より小さい整数の最大値ということになります。
ｎが偶数のときＮ＝（ｎ－２）／２、ｎが奇数のときＮ＝（ｎ－１）／２
　
Ａ，Ｂ，Ｃ、が等間隔の異なる数値の場合、
Ｂは、２からＮまでの数値を取り、それによってＡとなりうる整数が決まり、
それによってＣもＤも決まるので、解が決まり、解の個数が決まります。
ＡまたはＣの個数が解の個数になります。そして、
　
数えているのは、整数の数値ではなく、解となるＡの個数だということです。
　