先の短い爺には
 間に合わないくらい
 微小は限りなく0に近づいて
 微小が微小のままなら
 消えてしまって跡形もないのだが
 微小の無限和や
 微小を微小で割るとき
 無でも無限でもなく
 明らかな形が
 滑らかな曲線が
 ときに現れて来て
 労うようで
 意地悪そうな微笑を浮かべて
 紙とペンを持つ爺にも言うのです
 
 「徒労、お疲れさま、先は長いよ」
 
 
 
ネットで検索して見たのは物理数学のサイトだったらしい。
積分式も ∫・・・dV とか書いてあって、体積で積分?と、
さっぱり分からなかったが、今考えてみると、
dVは、微小な厚さを持つ断面の無限和という意味だったかもしれない。
でも、それを使いこなせないので、
やっぱり馴染みのある高校数学レベルで試みてみる。
 
今回は立体で、円錐と半球の重心を求めたい。
面の無限和とも言えそうだが、
極めて薄い微小な厚さを持つ断面の無限和
とも言えるだろう。
位置はどちらも x 軸上にある。
今回は xy 座標 で計算しました。
 
G=(厚さが微小な断面積×その位置)の無限和/(全体の体積) ――――(1)
ということになる。
(1)の式の「位置」を表すのは x で、
断面積の微小な厚さが ⊿x になるようだ。
(「扇形の重心を積分で」で重心と積分を勉強した分、前の扇形より少しは楽かもしれない??)
 
 
問題1:半径 r、高さ h、円錐の重心
図1)
イメージ 1
 z 軸 は 省略しているが、
重心が断面の円の中心であることは明らかなので
重心は x 軸上にあり、
重心G(p,0,0)とする。
 
y=(r/h)x ――――――――――――――――――――(6)
これが断面の円の半径になる。
 
(1)の分子
つまり、厚さが微小な断面積×その位置の無限和、これをKとすると、
その微小な部分は、⊿K となる。
厚さが ⊿x の円柱の無限和とも言えるので、
 
 ⊿K = π((r/h)x)^2・x・⊿x 
 (このまま(7)に持ってゆくこともできるらしいが)
 
 ⊿K/⊿x = ( π(r/h)x)^2・x
    ↓
    ↓ ⊿x → 0 (右辺に⊿xがないので、そのまま)
    ↓
微分(dK/dx)= π(r/h)^2・x^3
 
 ∴ K = π(r/h)^2・∫「0~h」x^3 dx ――――――(7)
 
    = π(r/h)^2・(h^4)/4
 
    = π(r^2)(h^2)/4 ―――――――――――――(8)
 
(8)が(1)の分子、分母は円錐の体積 = hπr^2/3 ――――(9)
 
ゆえに、(8)/(9)の計算となり、
重心 x 座標の p = (π(r^2)(h^2)/4)/(hπr^2/3)
 
         = 3h/4 =(3/4)h
 
以上より、円錐の重心 G ((3/4)h,0,0)
 
つまり、円錐の重心は、頂点から (3/4) h のところにあり、
底面の円の中心から (1/4) h のところにある。 ――――――――(答え1)
 
 
問題2:半径 r の半球の重心
 
解答例2:
図2)
イメージ 2
 z 軸 は 省略しているが、
これも重心が断面の円の中心であることは明らかなので
重心G(p,0,0)とする。
 
y=√(r^2-x^2) ―――――――――――――――――――――――(2)
これが断面の円の半径になる。
 
(1)の分子
つまり、厚さが微小な断面積×その位置の無限和、これをKとすると、
その微小な部分は、⊿K となる。
厚さが ⊿x の円柱の無限和とも言えるので、
 
 ⊿K = π(√(r^2-x^2))^2・x・⊿x
 (このまま(3)に持ってゆくこともできるらしいが)
 
 ⊿K/⊿x = π(r^2-x^2)・x
    ↓
    ↓ ⊿x → 0 (右辺に⊿xがないので、そのまま)
    ↓
微分(dK/dx)= π(r^2-x^2)・x
 
         = π(r^2・x-x^3)
 
 ∴ K = π∫「0~r」π(r^2・x-x^3)dx ――――――――(3)
 
    = π [ r^2・x^2/2-x^4/4 ]「0~r」
 
    = π(r^4/2-r^4/4)
 
    =πr^4/4 ―――――――――――――――――――――――(4)
 
(4)が(1)の分子で、分母は 半径rの半球の体積=2πr^3/3 ―――(5)
 
ゆえに、(4)/(5)の計算になり、
重心 x 座標の p = (πr^4/4)/(2πr^3/3)
 
         = 3r/8 = (3/8)r 
 
以上より、半球の重心 G ((3/8)r,0,0)
 
つまり、半球の重心は中心から半径の(3/8)のところにある。―――(答え2)
 
 
 
 とても小さくて
 どこへ行ったのだろう
 とても小さくて心細そうだったのだけれど
 傷心のうちに隠れて見えないのだろうか
 闇の中に潜んでいるのか
 遠くからの光に吸い込まれたのだろうか
 光の中に散乱したのだろうか
 大きさも重さもない点の存在が
 広く広く果てもない波動に同期して
 焦点に向かって終息したというのか
 それとも収束と発散を
 宇宙と木陰を
 高慢と心貧しさを
 一筋の清らかな
 直線でも曲線でもなく
 時空とも呼べないところへ
 透き通ったまま通り抜けて行ったのだろうか
 水とも火とも
 あれは・・・と
 名付けられる前に
 
 
(2013年09月30日)
(2013年10月02日、若干修正)