⊿(デルタ)を使う基本的な方法と、置換積分を使います。
 
 「2次関数曲線の長さ」
 
 
⊿θ を用いた極座標での曲線の長さを求める問題は
「頂点同士が追いかける正方形・関数」
http://blogs.yahoo.co.jp/st5402jp/11754908.html
「頂点同士が追いかける正n角形・関数」
http://blogs.yahoo.co.jp/st5402jp/11760700.html
http://note.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/n175514
に書いたが、
 
今回は、xy座標で、⊿x を用いる
という意味で基本的な問題として
 
めんどくさそうだが、できそうな問題なら、
できるところまで、やってみようということで・・
あまりきれいな結果は出なかったけれど、
2次関数は微分すると1次になるので、
高校レベルでの置換積分が使えると思いました。
 
 
 y = f(x)= ax^2+bx+c ―――――――(1)
 
 f’(x)=2ax+b ――――――――――――――(2)
 
図1)
イメージ 1
ここでも微小なxの増分を⊿x、yの増分を⊿yとし、
微小な曲線の長さを直角三角形の斜辺と見なして⊿Lとする。
 
⊿L^2=⊿x^2+⊿y^2
 
⊿L=√(⊿x^2+⊿y^2)
 
⊿L/⊿x=√(1+(⊿y/⊿x)^2)
   ↓
   ↓ ⊿x→0
   ↓
微分(dL/dx)=√(1+(dy/dx)^2)
 
 ∴ L=∫√(1+(dy/dx)^2)dx
    =∫√(1+f’(x)^2)dx   ――――――――(3)
 
2次関数では、(1)(2)(3)より、
 
  L=∫√(1+(2ax+b)^2)dx ―――――――――(4)
 
ここで、置換積分 2ax+b=t と置く。この両辺をtで微分して、
 
  2a (dx/dt)=1 
 
 ∴ (dx/dt)=1/(2a) ――――――――――(5)
 
ゆえに、(4)は、
 
  L=∫√(1+t^2)(dx/dt)dt だから、(5)より、
 
  L=(1/2a)∫√(1+t^2)dt ―――――――――(6)
 
次は、高校の参考書に載っていた置換積分、
 
 u=t+√(1+t^2) と置く。 ――――――――――(7)
 
 u-t=√(1+t^2) ―――――――――――――(8)
   (両辺2乗して)
 u^2-2ut+t^2=1+t^2
 ∴ u^2-2ut=1 
 2ut=u^2-1
 
  t=(u^2-1)/(2u)  ―――――――――――(9)
 
また、(8)(9)より、
 
 √(1+t^2)=u-t=u-(u^2-1)/(2u)
        =(2u^2-(u^2-1))/(2u)
 
 ゆえに、√(1+t^2)=(u^2+1)/(2u) ――――――(10)
 
また、(7)の両辺をuで微分して、
 
 1=(1+t/√(1+t^2))(dt/du)
  =((√(1+t^2)+t)/√(1+t^2))(dt/du)
                            ――――(11)
 
(11)に(7)(10)を代入して、
 
 1=(u/((u^2+1)/(2u)))(dt/du)
 
ゆえに、微分(dt/du)=(u^2+1)/(2u^2) ――――(12)
 
(6)、(10)、(12)より、
 
 L=(1/2a)∫√(1+t^2)dt
=(1/2a)∫√(1+t^2)(dt/du)du
=(1/2a)∫(((u^2+1)/(2u))(u^2+1)/(2u^2))du
=(1/2a)∫((u^2+1)^2/4u^3)du
=(1/2a)∫((u^4+2u^2+1)/4u^3 )du
=(1/2a)∫( u/4 + 1/2u + 1/4u^3 )du
=(1/2a)(u^2/8 + (log u)/2 -(1/(8u^2))+C
                     (Cは、積分定数)
=(1/2a)(u^2/8 -(1/(8u^2) + (log u)/2)+C
=(1/16a)( u^2 -1/u^2 + 4 log u )+C
 
  ( 置換された変数を戻してゆくと、
 
   u^2-1/u^2
   = (t+√(1+t^2))^2 - 1/(t+√(1+t^2))^2
   = (t+√(1+t^2))^2
         - (t-√(1+t^2))^2/(t+√(1+t^2))^2 (t-√(1+t^2))^2
       = (t+√(1+t^2))^2 - (t-√(1+t^2))^2/((t^2-(√(1+t^2))^2)^2
   = (t+√(1+t^2))^2 - (t-√(1+t^2))^2/(t^2-(1+t^2))^2
   = (t+√(1+t^2))^2 - (t-√(1+t^2))^2/(-1)^2
   = (t+√(1+t^2))^2 - (t-√(1+t^2))^2
   = 4t√(1+t^2)  となるので、 )
 
= (1/16a)(4t√(1+t^2) + 4 log u )+C
= (1/4a)( t √(1+t^2) + log u )+C 
 
(7)より、log u = log(t+√(1+t^2) も戻して、
 
L=(1/4a)( t √(1+t^2) + log( t+√(1+t^2 ))) + C
                            ―――――――――(13)  
という不定積分を得る。なお、t=2ax+b  ――――――――――――――(13)
 
 ( これは一般的に、
   ∫√(1+t^2)dt = (1/2)( t √(1+t^2) + log(t+√(1+t^2 ))) + C 
    という不定積分を使ったことを意味しています。 )
 
 
(13)を用いて、
 y=x^2 の、x=0から1までの長さを求めてみます。
図2)
イメージ 2
ax^2+bx+c の、a=1,b=c=0,だから
x=0のとき、t = 2ax+b = 2x =0
x=1のとき、t = 2x = 2 なので、
 
L=L(1)-L(0)= L(1)
    ( L(0) = 0 )
 =(1/4)( 2√5 + log(2+√5)
 =√5/2 + log(2+√5)/4
   ( log は、微積分なので自然対数 )
 ≒(2.236)/2 + log(4.236)/4
   (関数電卓を用いて計算すると)
 ≒1.118 + 0.361
  ≒ 1.479 
 
直線距離が、√2≒1.414 だから
もう少し長そうな気もしますが・・・
勘違いか計算間違いをしているかもしれません。
よかったらアドバイスくださいませ。
 
それにしても微小な増分⊿θや⊿x においては、
前の扇形の重心のときは二等辺三角形と、
今回は直角三角形と見なす、など、
なんだか⊿の記号の形のように三角形が基本のような気がしました。
 
 
(2013年10月07日、同日一部修正)