数学の記事は久しぶりです・・殆ど復習ですが・・
 
  足し算と平方数の三角形
    ・・・恒等式と方程式
 
「タルタリアの三角形(足し算の三角形)」
http://blogs.yahoo.co.jp/st5402jp/10031841.html
http://note.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/n201091
「平方数の三角形」
http://blogs.yahoo.co.jp/st5402jp/10102698.html
http://note.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/n201095
について前に記事にしましたが
 
 
そのときは左端の整数を帰納して n で表し、
その n について 左辺=右辺 となり
 n についての恒等式となることをもって証明とした。
 
そのあと考えてみたのだが
左端の整数を帰納しなくても
それをNとおいて
Nを未知数、nを定数として
任意の n 段目の整数方程式を立てて
解として Nを n の式で表せるなら
 n の任意性から演繹的に
恒等式となることの証明になりそうである。
少し計算が楽になりそうなので載せることにしました。
 
 
1.タルタリアの足し算の三角形について
 
1段目             1+2=3            (=3)
 
2段目           4+5+6=7+8          (=15)
 
3段目      9+10+11+12=13+14+15     (=42)
 
4段目  16+17+18+19+20=21+22+23+24  (=90)
 
             ・・・・・・
 
(n段目  N+(N+1)+・・?  (Nをnで表す)    )
 
           ・・と下ほど式が長くなり三角形のように
                 無限に続く・・・
 
 n 段目の 左端の整数をNとすると
左辺の項数は(n+1)、右辺の項数は n なので
 n 段目については次のような方程式となる。
 
N+(N+1)+(N+2)+・・+(N+n)
   =(N+n+1)+(N+n+2)+・・+(N+n+n) ――(1)
これは
N,nの個数を考えて
整理すると
 
(n+1)N+(1+2+・・+n)
   =n×N+n×n+(1+2+・・+n) となり
 
(1+2+・・+n) は消えて
 
 N=n^2 となる。 ―――――――――――――(2)
      (n^2は、nの2乗の意味)
 
Nの方程式(1)を解いた答えが(2)ということは
(2)を(1)に代入すると
 n の任意性から
任意の正の整数 n について成立する恒等式となることを意味する。
つまり(1)と(2)によって
タルタリアの足し算の三角形が無限に成り立つことの証明となるだろう。
 
 
2.平方数の三角形について
 
1段目              3^2 + 4^2 = 5^2                        (=25)
 
2段目        10^2 + 11^2 + 12^2 = 13^2 + 14^2               (=365)
 
3段目    21^2 + 22^2 + 23^2 + 24^2 = 25^2 + 26^2 + 27^2       (=2030)
 
4段目 36^2 +37^2 +38^2 +39^2 +40^2 = 41^2 +42^2 +43^2 +44^2   (=7230)
 
             ・・・・・・
 
(n段目 N^2+(N+1)^2 ・・?   (Nをnで表す)   )
 
      ・・・のように三角形に広がって
        無限に続いてゆくかどうかを考える・・・
 
 1.と同様にして n 段目について
平方数だから左端の整数を N^2 とすると方程式は
 
N^2+(N+1)^2+(N+2)^2+・・+(N+n)^2= 
(N+n+1)^2+(N+n+2)^2+・・+(N+n+n)^2 ―――(3)
 
一般に (N+k)^2=N^2+2kN+k^2
であることより係数を考え、同様に整理してゆくと
 
左辺は
(n+1)N^2+(2N+2×2N+・・+2×nN)
 +(1^2+2^2+・・+n^2) となるので
 
(n+1)N^2+2(1+2+・・+n)N+(1^2+2^2+・・+n^2)
=n×N^2+2((n+1)+(n+2)+・・+(n+n))N
 +(n+1)^2+(n+2)^2+・・+(n+n)^2 
 
N^2は左辺の1個が残るだけで
さらにNの付かない右辺の定数項を整理すると
 
N^2+2(1+2+・・+n)N+(1^2+2^2+・・+n^2)
=2(n×n+(1+2+・・n))N
 +n×n^2+2(1+2+・・+n)×n
 +(1^2+2^2+・・+n^2)
 
(1^2+2^2+・・+n^2) が消えます。
 
N^2+2(1+2+・・+n)N
=2n^2×N+2(1+2+・・+n)N
 +n^3+2(1+2+・・+n)×n
 
2(1+2+・・+n)N が消えます。
 
N^2=2n^2×N+n^3+2(1+2+・・+n)×n
 
1+2+・・+n=n(n+1)/2 なので
 
N^2=2n^2×N+n^3+n(n+1)n
 
右辺を左辺に移すと
 
 N^2-2n^2N-n^2(n+(n+1))=0
 
 N^2-2n^2N-n^2(2n+1)=0 ――――――――――(4)
  という方程式になります。
 
足して -2n^2、 掛けて -n^2(2n+1)=-2n^3-n^2
となる2数は、n と、-2n^2-n ということで因数分解すると
 
 (N+n)(N-2n^2-n)=0 
 
n と N は、正の整数だから、
 
  N=2n^2+n=n(2n+1)  ―――――――――――(5)
 
以上より
正の整数 (5) を代入した(3)は
任意の正の整数 n についての恒等式である。
つまり任意の n 段目において成立するので
平方数の三角形は無限に成立すると言えるだろう。
 
Nとnの式をN=?に書き換える作業でもあり
nで表されたNが左端の数ということになります・・
 
 
(※ 立方数については、まず1段目が成り立たないそうです。)
 
 
(2014年04月28日)