計算していて無理数が出てくるのに
答えは無理数が出ないシンプルな数。
そういう面積の問題はひょっとして
小学校の図形の問題になるのでは？
とか考えて書いてみたのですが・・
無理数を使わずに面積を
できるだけ無理数を使わずに答えを求めてください。
つまり、３０°、６０°、９０°の直角三角形の
斜辺：短辺＝２：１ は使いますが、
長辺の√３は使わないようにします。
問題１：下図のように一辺の長さ１の正方形を
直角を三等分した直線で分割したときに
△ＡＥＦの面積を求めなさい。
問題２：下図のような
角度と長さを持つ四角形ＡＢＣＥの面積を求めなさい。
解答例１：
（√３を使って解けますが・・使わずに・・）
問題をもう一度図示します
下図のようにＡＢとＡＤの延長線上に
ＡＧ＝ＡＥ＝ＡＦ＝ＡＨとなるように補助線を引きます。
△ＡＧＥ≡△ＡＥＦ≡△ＡＦＨ となり
△ＡＥＦは、五角形ＡＧＥＦＨの３分の１になります。 ―――（１）
正方形からはみ出した赤の三角形２つを合わせると
挟角３０°の二等辺三角形になります。
底辺はＥＦと同じ長さになり
高さはＥＦの半分になります。 ―――（２）
青の△ＣＥＦは直角二等辺三角形になり
下図のように底辺はＥＦになり
高さはＥＦの半分になります。 ―――（３）
（２）と（３）より、底辺と高さが等しいので、
赤の三角形と青の三角形は同じ面積になります。 ―――（４）
（１）～（４）より
五角形ＡＧＥＦＨは、正方形からはみ出る部分と
正方形に足らない部分との面積が等しいので
五角形ＡＧＥＦＨの面積は 正方形の面積＝１ に等しい。
ゆえに △ＡＥＦ＝五角形ＡＧＥＦＨ／３＝ １／３ ―――（答）
解答例２：
これは勘のいい小学生ならすぐに答えは
ひらめくかもしれません。
つまり、問題の四角形は、下図のように
２つの三角形、直角二等辺三角形と二等辺三角形を
張り合わせて出来たものです。
その面積は、２＋１＝３ ―――――――――（答）
となります。
数学的説明としては
図６の２つの三角形を合わせると問題の四角形になる。
問題の四角形の形は一通りしかないので
逆にＡＣで分割した場合も
図６の２つの三角形にしかならない。
（合同条件を満たすから同値ということ・・）
※ 参考までに無理数も含めて計算で解くなら
・・もっと簡単な方法があるかもしれませんが・・
下図のように
対角線ＢＤを引いて二等辺三角形の
△ＣＢＤの面積を求めて（＝√３） ―――（５）
さらに補助線を引いて
直角二等辺三角形の△ＥＢＤ（＝３）から
辺の比が１：√３の直角三角形の
△ＡＢＥ（＝√３）を引いて ３－√３ ―――（６）
（５）＋（６）で、３ ということになります。 ―――（答）
（２０１４年０５月２２日）
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