間違っているかもしれないが、高校のときに気になっていたこと・・
0.999・・・=1 ?
ふつうは次のように理解する。
実際に計算して
0.999・・・=1 ?
ふつうは次のように理解する。
実際に計算して
1÷3=0.333・・・
左辺×3=1÷3×3=1
右辺×3=(0.333・・・)×3
=0.999・・・
∴ 1=0.999・・・
0.999・・・は、9が無限に続く数として
つまり無限循環小数として理解されているが、
0.999・・・というのを
はたして数として理解してよいのか・・。
数式で考えると、他の無限循環小数についても同様だが、
0.999・・・は、
初項0.9、公比0.1の
等比数列の無限和である。
その値をSとすると、
S=(0.9)+(0.9)×(0.1)+(0.9)×(0.1)^2
+・・・(0.9)×(0.1)^(n-1)+・・・ ―――――(1)
これは
lim(n→∞)Σ(nまで)(0.9)×(0.1)^(k-1)――(2)
として公式 S=(1-公比)/初項 より
=(1-0.1)/(0.9)
=(0.9)/(0.9)=1
と求められている。
(2)の lim は、0.999・・・が
何に近づくかという極限値、
言い換えると近づく目標の数値を表している。
求めるべき(1)は、0.999・・・そのものがいくつか
という数値である。
左辺×3=1÷3×3=1
右辺×3=(0.333・・・)×3
=0.999・・・
∴ 1=0.999・・・
0.999・・・は、9が無限に続く数として
つまり無限循環小数として理解されているが、
0.999・・・というのを
はたして数として理解してよいのか・・。
数式で考えると、他の無限循環小数についても同様だが、
0.999・・・は、
初項0.9、公比0.1の
等比数列の無限和である。
その値をSとすると、
S=(0.9)+(0.9)×(0.1)+(0.9)×(0.1)^2
+・・・(0.9)×(0.1)^(n-1)+・・・ ―――――(1)
これは
lim(n→∞)Σ(nまで)(0.9)×(0.1)^(k-1)――(2)
として公式 S=(1-公比)/初項 より
=(1-0.1)/(0.9)
=(0.9)/(0.9)=1
と求められている。
(2)の lim は、0.999・・・が
何に近づくかという極限値、
言い換えると近づく目標の数値を表している。
求めるべき(1)は、0.999・・・そのものがいくつか
という数値である。
目標の数値に限りなく近づくが
目標の数値そのものではない・・という感覚・・
さらに、無限を数えた人はいない、無限は数えられない、
という問題があり、つまり、
無限および無限大は数ではなく概念である。
何故なら ∞+∞=∞ などのように成立せず、
無限は数のように計算することが出来ない、
数に成り立つべき演算法則が成り立たない
というのがあると思う。
したがって、0.999・・・としか表せない数値には
「限りなく近いは等しいに等しい」
という合意があるとしか言えない。
ゆえに、0.999・・・=1 と表記されるのだろう。
これは概念上の合意であり直観的公理?かもしれないが、
その根拠は、
1. 限りなく1に近づくから。
2. 1以外の数値には決して近づかないから。
3. 0.999・・・と 1 の差があったとしても
0.999・・・=1 とした場合の
いかなる演算においても
その誤差は常に無限小
という幾らでも小さくなる差であるから。
といったところか・・
私は哲学を知らないのだが、あえて言うなら、
数と記号と図形で最も厳密な演繹論理を持っている数学も
他の言論つまり言葉で表す論理においても
概念においては哲学の深淵をしばしば覗いている。
それが公理とか直観的把握~理解というものなのだろう。
(2015年07月10日、同日一部修正)
コメント
コメント一覧 (3)
0.9999・・・・と無限に続く数を電卓に入力することは出来ません。
なぜなら電卓の窓は有限だから、そして入力する時間も有限だからです。
そこで1÷3=0.3333・・・・として、これに3をかけて0.9999・・・・とします。
つぎに「掛け算と割り算は計算の順序を変えても答えは同じ」を利用します。
1×3÷3=1
答えは同じになるのですから0.9999・・・・=1になります。
高校生向きに考えました。
1は有理数です。
0.9999・・・・は分数で表せるのでこれも有理数です。
ある有理数と別の有理数の間には距離があります。
これは数直線で有理数は連続しないことを意味します。
1-0.9999・・・・の答えはゼロです。
距離がないのは両者が同じ数だからです。
よって有理数の両隣は無理数で、無理数の両隣も無理数となります。
ある数の隣接点は計算では出すことが出来ません。
代数的計算によってあらわすことが出来ない数を超越数と言います。
計算できなくともeやπのように記号を与えれば利用することは出来ます。
st5402jp
が
しました
1÷3=0.333・・・
左辺×3=1÷3×3=1
右辺×3=(0.333・・・)×3
=0.999・・・
∴ 1=0.999・・・
高校生向きのほうですが、
1-0.999・・・は、ふつうの筆算ではなく、無限からの結論でしょう。
いずれにしても、無限の概念によるものだと思います。
なお「両端」というのは、かなり概念的、さらに文学的でさえあります。
st5402jp
が
しました
失礼しました。
st5402jp
が
しました