間違っているかもしれないが、高校のときに気になっていたこと・・
０.９９９・・・＝１ ？
ふつうは次のように理解する。
実際に計算して
０.９９９・・・＝１ ？
ふつうは次のように理解する。
実際に計算して
１÷３＝０．３３３・・・
左辺×３＝１÷３×３＝１
右辺×３＝（０．３３３・・・）×３
＝０．９９９・・・
∴ １＝０．９９９・・・
０．９９９・・・は、９が無限に続く数として
つまり無限循環小数として理解されているが、
０．９９９・・・というのを
はたして数として理解してよいのか・・。
数式で考えると、他の無限循環小数についても同様だが、
０．９９９・・・は、
初項０．９、公比０．１の
等比数列の無限和である。
その値をＳとすると、
Ｓ＝（０．９）＋（０．９）×（０．１）＋（０．９）×（０．１）^２
＋・・・（０．９）×（０．１）＾（ｎ－１）＋・・・ ―――――（１）
これは
ｌｉｍ（ｎ→∞）Σ（ｎまで）（０．９）×（０．１）^（ｋ－１）――（２）
として公式 Ｓ＝（１－公比）／初項 より
＝（１－０．１）／（０．９）
＝（０．９）／（０．９）＝１
と求められている。
（２）の ｌｉｍ は、０．９９９・・・が
何に近づくかという極限値、
言い換えると近づく目標の数値を表している。
求めるべき（１）は、０．９９９・・・そのものがいくつか
という数値である。
左辺×３＝１÷３×３＝１
右辺×３＝（０．３３３・・・）×３
＝０．９９９・・・
∴ １＝０．９９９・・・
０．９９９・・・は、９が無限に続く数として
つまり無限循環小数として理解されているが、
０．９９９・・・というのを
はたして数として理解してよいのか・・。
数式で考えると、他の無限循環小数についても同様だが、
０．９９９・・・は、
初項０．９、公比０．１の
等比数列の無限和である。
その値をＳとすると、
Ｓ＝（０．９）＋（０．９）×（０．１）＋（０．９）×（０．１）^２
＋・・・（０．９）×（０．１）＾（ｎ－１）＋・・・ ―――――（１）
これは
ｌｉｍ（ｎ→∞）Σ（ｎまで）（０．９）×（０．１）^（ｋ－１）――（２）
として公式 Ｓ＝（１－公比）／初項 より
＝（１－０．１）／（０．９）
＝（０．９）／（０．９）＝１
と求められている。
（２）の ｌｉｍ は、０．９９９・・・が
何に近づくかという極限値、
言い換えると近づく目標の数値を表している。
求めるべき（１）は、０．９９９・・・そのものがいくつか
という数値である。
目標の数値に限りなく近づくが
目標の数値そのものではない・・という感覚・・
さらに、無限を数えた人はいない、無限は数えられない、
という問題があり、つまり、
無限および無限大は数ではなく概念である。
何故なら ∞＋∞＝∞ などのように成立せず、
無限は数のように計算することが出来ない、
数に成り立つべき演算法則が成り立たない
というのがあると思う。
したがって、０．９９９・・・としか表せない数値には
「限りなく近いは等しいに等しい」
という合意があるとしか言えない。
ゆえに、０．９９９・・・＝１ と表記されるのだろう。
これは概念上の合意であり直観的公理？かもしれないが、
その根拠は、
１． 限りなく１に近づくから。
２． １以外の数値には決して近づかないから。
３． ０．９９９・・・と １ の差があったとしても
０．９９９・・・＝１ とした場合の
いかなる演算においても
その誤差は常に無限小
という幾らでも小さくなる差であるから。
といったところか・・
私は哲学を知らないのだが、あえて言うなら、
数と記号と図形で最も厳密な演繹論理を持っている数学も
他の言論つまり言葉で表す論理においても
概念においては哲学の深淵をしばしば覗いている。
それが公理とか直観的把握～理解というものなのだろう。
（２０１５年０７月１０日、同日一部修正）
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