間違っているかもしれないが、高校のときに気になっていたこと・・
 
  0.999・・・=1 ?
 
 
ふつうは次のように理解する。
 
実際に計算して
 1÷3=0.333・・・
 左辺×3=1÷3×3=1
 右辺×3=(0.333・・・)×3
     =0.999・・・
 ∴ 1=0.999・・・
 
0.999・・・は、9が無限に続く数として
つまり無限循環小数として理解されているが、
 
0.999・・・というのを
はたして数として理解してよいのか・・。
 
数式で考えると、他の無限循環小数についても同様だが、
0.999・・・は、
初項0.9、公比0.1の
等比数列の無限和である。
その値をSとすると、
 
S=(0.9)+(0.9)×(0.1)+(0.9)×(0.1)^2
  +・・・(0.9)×(0.1)^(n-1)+・・・  ―――――(1)
 
これは
 lim(n→∞)Σ(nまで)(0.9)×(0.1)^(k-1)――(2)
として公式 S=(1-公比)/初項 より
       =(1-0.1)/(0.9)
       =(0.9)/(0.9)=1
 と求められている。
 
(2)の lim は、0.999・・・が
何に近づくかという極限値、
言い換えると近づく目標の数値を表している。
 
求めるべき(1)は、0.999・・・そのものがいくつか
という数値である。
 
目標の数値に限りなく近づくが
目標の数値そのものではない・・という感覚・・
 
さらに、無限を数えた人はいない、無限は数えられない、
という問題があり、つまり、
 
無限および無限大は数ではなく概念である。
何故なら ∞+∞=∞ などのように成立せず、
無限は数のように計算することが出来ない、
数に成り立つべき演算法則が成り立たない
というのがあると思う。
 
したがって、0.999・・・としか表せない数値には
 
「限りなく近いは等しいに等しい」
という合意があるとしか言えない。
ゆえに、0.999・・・=1 と表記されるのだろう。
 
これは概念上の合意であり直観的公理?かもしれないが、
その根拠は、
1. 限りなく1に近づくから。
2. 1以外の数値には決して近づかないから。
3. 0.999・・・と 1 の差があったとしても
  0.999・・・=1 とした場合の
  いかなる演算においても
  その誤差は常に無限小
  という幾らでも小さくなる差であるから。
といったところか・・
 
私は哲学を知らないのだが、あえて言うなら、
 
数と記号と図形で最も厳密な演繹論理を持っている数学も
他の言論つまり言葉で表す論理においても
 
概念においては哲学の深淵をしばしば覗いている。
 
それが公理とか直観的把握~理解というものなのだろう。
 
 
(2015年07月10日、同日一部修正)