間違っているかもしれないが、高校のときに気になっていたこと・・
０.９９９・・・＝１ ？
ふつうは次のように理解する。
実際に計算して
０.９９９・・・＝１ ？
ふつうは次のように理解する。
実際に計算して
１÷３＝０．３３３・・・
左辺×３＝１÷３×３＝１
右辺×３＝（０．３３３・・・）×３
＝０．９９９・・・
∴ １＝０．９９９・・・
０．９９９・・・は、９が無限に続く数として
つまり無限循環小数として理解されているが、
０．９９９・・・というのを
はたして数として理解してよいのか・・。
数式で考えると、他の無限循環小数についても同様だが、
０．９９９・・・は、
初項０．９、公比０．１の
等比数列の無限和である。
その値をＳとすると、
Ｓ＝（０．９）＋（０．９）×（０．１）＋（０．９）×（０．１）^２
＋・・・（０．９）×（０．１）＾（ｎ－１）＋・・・ ―――――（１）
これは
ｌｉｍ（ｎ→∞）Σ（ｎまで）（０．９）×（０．１）^（ｋ－１）――（２）
として公式 Ｓ＝（１－公比）／初項 より
＝（１－０．１）／（０．９）
＝（０．９）／（０．９）＝１
と求められている。
（２）の ｌｉｍ は、０．９９９・・・が
何に近づくかという極限値、
言い換えると近づく目標の数値を表している。
求めるべき（１）は、０．９９９・・・そのものがいくつか
という数値である。
左辺×３＝１÷３×３＝１
右辺×３＝（０．３３３・・・）×３
＝０．９９９・・・
∴ １＝０．９９９・・・
０．９９９・・・は、９が無限に続く数として
つまり無限循環小数として理解されているが、
０．９９９・・・というのを
はたして数として理解してよいのか・・。
数式で考えると、他の無限循環小数についても同様だが、
０．９９９・・・は、
初項０．９、公比０．１の
等比数列の無限和である。
その値をＳとすると、
Ｓ＝（０．９）＋（０．９）×（０．１）＋（０．９）×（０．１）^２
＋・・・（０．９）×（０．１）＾（ｎ－１）＋・・・ ―――――（１）
これは
ｌｉｍ（ｎ→∞）Σ（ｎまで）（０．９）×（０．１）^（ｋ－１）――（２）
として公式 Ｓ＝（１－公比）／初項 より
＝（１－０．１）／（０．９）
＝（０．９）／（０．９）＝１
と求められている。
（２）の ｌｉｍ は、０．９９９・・・が
何に近づくかという極限値、
言い換えると近づく目標の数値を表している。
求めるべき（１）は、０．９９９・・・そのものがいくつか
という数値である。
目標の数値に限りなく近づくが
目標の数値そのものではない・・という感覚・・
さらに、無限を数えた人はいない、無限は数えられない、
という問題があり、つまり、
無限および無限大は数ではなく概念である。
何故なら ∞＋∞＝∞ などのように成立せず、
無限は数のように計算することが出来ない、
数に成り立つべき演算法則が成り立たない
というのがあると思う。
したがって、０．９９９・・・としか表せない数値には
「限りなく近いは等しいに等しい」
という合意があるとしか言えない。
ゆえに、０．９９９・・・＝１ と表記されるのだろう。
これは概念上の合意であり直観的公理？かもしれないが、
その根拠は、
１． 限りなく１に近づくから。
２． １以外の数値には決して近づかないから。
３． ０．９９９・・・と １ の差があったとしても
０．９９９・・・＝１ とした場合の
いかなる演算においても
その誤差は常に無限小
という幾らでも小さくなる差であるから。
といったところか・・
私は哲学を知らないのだが、あえて言うなら、
数と記号と図形で最も厳密な演繹論理を持っている数学も
他の言論つまり言葉で表す論理においても
概念においては哲学の深淵をしばしば覗いている。
それが公理とか直観的把握～理解というものなのだろう。
（２０１５年０７月１０日、同日一部修正）
コメント
コメント一覧 (3)
0.9999････と無限に続く数を電卓に入力することは出来ません。
なぜなら電卓の窓は有限だから、そして入力する時間も有限だからです。
そこで１÷３＝0.3333････として、これに３をかけて0.9999････とします。
つぎに「掛け算と割り算は計算の順序を変えても答えは同じ」を利用します。
１×３÷３＝１
答えは同じになるのですから0.9999････＝１になります。
高校生向きに考えました。
１は有理数です。
0.9999････は分数で表せるのでこれも有理数です。
ある有理数と別の有理数の間には距離があります。
これは数直線で有理数は連続しないことを意味します。
１－0.9999････の答えはゼロです。
距離がないのは両者が同じ数だからです。
よって有理数の両隣は無理数で、無理数の両隣も無理数となります。
ある数の隣接点は計算では出すことが出来ません。
代数的計算によってあらわすことが出来ない数を超越数と言います。
計算できなくともeやπのように記号を与えれば利用することは出来ます。
st5402jp
が
しました
１÷３＝０．３３３・・・
左辺×３＝１÷３×３＝１
右辺×３＝（０．３３３・・・）×３
＝０．９９９・・・
∴ １＝０．９９９・・・
高校生向きのほうですが、
１－０．９９９・・・は、ふつうの筆算ではなく、無限からの結論でしょう。
いずれにしても、無限の概念によるものだと思います。
なお「両端」というのは、かなり概念的、さらに文学的でさえあります。
st5402jp
が
しました
失礼しました。
st5402jp
が
しました