ウソの国-詩と宗教:st5402jp

キリスト信仰、カルト批判、詩のようなもの、思想・理念、数学・図形、などを書いています。

2010年12月

前にリンクした算数の問題と解答例です。

 たまたま計算していて
 同じ数字が出てきたので、
 そこを隠して問題にしてみたら、
 その数しかないと分かるまでに、
 できるだけ簡単に、と思うと、
 ずいぶん遠回りして、
 かえって時間がかかってしまった。
 簡単なクイズのようなものなのに
 回転の遅い頭が、
 たまたま興味を持ってしまったからだ。

----------------------------------------

問題・算数計算クイズ(小学校レベル?):

2桁の整数AA×1桁の整数B=3桁の整数2AB
正の整数A,Bを求めなさい。

     AA
    × B
  ――――――
    2AB   (十進数表記)

----------------------------------------

解答例:

題意よりA,Bは1から9までの整数である。

     AA
    × B
 ――――――
     ○○
   ○○
 ――――――
   2 A B

○○はA×Bの十進数表記2桁である。
それが○という1桁だと、計算結果は2桁になり
2ABという3桁にはならないので、
A×Bは1桁ではなく、2桁ということになる。
2つの○○=A×Bは同じ数である。
先ず分かることとして○○の下1桁はBである。つまり

     AA
  ×   B
 ――――――
     PB
    PB
 ――――――
    2AB   (Pは1桁の正の整数)

Pは3以上にはならない。
P=1と仮定すると、繰り上がって3桁目が2となるので
B=9ということになるが、そうなると
A=0となり成り立たない。
したがって P=2 以外にない。つまり

     AA
 ×    B
 ――――――
     2B
    2B
 ――――――
    2AB    というところまで分かった。

2桁目は繰り上がらないので
  2+B=A となり A-B=2 ――――――①
また、2Bは20台の整数である。すなわち
    20<2B=A×B<30 ―――――――②
①の条件だけで、九九において、A×Bは
3×1,4×2,5×3,6×4,7×5,8×6,9×7
の7通りしかない。この中で②を満たすのは
6×4=24しかない。これを当てはめると

     66
    × 4
   ――――――
     24
    24
   ――――――
    264   と成り立つので

 A=6,B=4 のみが答えであると分かる。
 
(2010年08月24日)
(もっと簡単に直観的にできないか・・・?)今のところ、以上です。



n個の「相加平均≧相乗平均」について
18歳を過ぎて間もないころの私の
古いノートに書いてあるのを見つけた
 
無数の敷石が順序よく並んでいる
全ての敷石を踏まなければならない
n=1のとき成立し
n=kのとき成立するなら
n=k+1のときも成立することを証明する
(数学的帰納法)即ち
一歩ずつ踏んで前に進むのが正道だ
 
しかし
n=(2^m)について証明して
飛び飛びに踏んだあとで
n=kのとき成立するなら
n=k-1のときも成立することを証明する
それぞれの既に踏んだ敷石から逆に
後ろに一歩ずつ踏んで進み
1つ前の既に踏んだ敷石までを
踏むことができるなら
全ての敷石を踏んだことになるだろうか
飛んで飛んで後ろ向きの証明・・・?
 
 「n個の正の数について
  相加平均≧相乗平均
   を証明する試み」
 
ステップ1:
n=2^mについて、数学的帰納法で証明する。
n=2個については成立。
m=kのとき、つまりn=2^k個について成立するなら
 
A(1)+・・・A(2^k)
――――――――― ≧ 2^k乗根( (A(1)・・・A(2^k) )
    2^k
 
m=k+1のとき、つまりn=2^(k+1)個については
2^(k+1)=2×2^k=2^k+2^k であるから―――――①
個数は2つの2^k個に分けられる。
その2つに上のk個の場合を当てはめると
 
         ((A(1)+・・・+A(2^k))
相加平均 = ―――――――――――
            2^k
 
    (A(2^k+1)+・・・+A(2^k+2^k))
 + ―――――――――――――――――
           2^k
 
 ≧2^k乗根( A(1)・・・A(2^k) )
   +2^k乗根( A(2^k+1)・・・A(2^k+2^k) )
(これにn=2の場合を当てはめると)
 ≧2×√( ( 2^k乗根( A(1)・・・A(2^k) )
   ×( 2^k乗根( A(2^k+1)・・・A(2^k+2^k) ) )
 =2×√( 2^k乗根( A(1)・・・A(2^k+2^k) ) )
 =2×(2^(k+1)乗根( A(1)・・・A(2^k+2^k) ))
①より A(2^k+2^k)=A(2^(k+1))だから、両辺を2で割って、
以上より
 
 A(1)+・・・+A(2^(k+1))
―――――――――――――
     2^(k+1)
 
  ≧ 2^(k+1)乗根( A(1)・・・A(2^(k+1) )
 
つまり、ステップ1:n=2^m について成立する。―――――②
 
ステップ2:
n=k のとき成立すると仮定すると
 
A(1)+・・・+A(k)
――――――――― ≧ k乗根( A(1)・・・A(k) )
     k
 
A(k)は任意なので、A(k)の代わりに
A(1)からA(k-1)までの相加平均を入れても成立する。
 ∴
                  A(1)+・・・+A(k-1)
 A(1)+・・・+A(k-1)+―――――――――――
                     k-1
――――――――――――――――――――――――――
               k
 
                        A(1)+・・・+A(k-1)
  ≧ k乗根( A(1)・・・A(k-1)×――――――――――― )
                            k-1
 
相加平均の分母子に(k-1)を掛けて整理すると
 
  k×(A(1)+・・・A(k-1))
 ――――――――――――――
      k×(k-1)
 
    A(1)+・・・A(k-1)
 = ―――――――――――
        k-1
 
                        A(1)+・・・+A(k-1)
  ≧ k乗根( A(1)・・・A(k-1)×――――――――――― )
                             k-1
 
両辺をk乗すると
 
(A(1)+・・・A(k-1))
(――――――――――) ^k
(     k-1      )
 
                  A(1)+・・・+A(k-1)
  ≧ A(1)・・・A(k-1)×―――――――――――
                       k-1
 
      A(1)+・・・+A(k-1)
両辺を ――――――――――― で割ると
         k-1
 
(A(1)+・・・A(k-1))
(――――――――――)^(k-1)
(     k-1      )
 
             ≧ A(1)・・・A(k-1)
 
両辺を(1/(k-1))乗すると
つまり、両辺の(k-1)乗根を取ると
 
 A(1)+・・・A(k-1)
 ―――――――――― ≧ (k-1)乗根( A(1)・・・A(k-1) )
      k-1
 
即ち、これは n=k-1 で成立することを意味する。――――――③
 
以上より、ここで ②、③ が成立することが分かった。つまり、
ステップ1: n=2^m について成立する。―――――②
ステップ2: n=k のとき成立するなら
       n=k-1 のときも成立する。―――――③
 
これで 2以上の任意の整数n について成立すると言える
ような気がする。
つまり任意のnには必ず
 n≦2^m となるような整数2^m が存在する。
「=」ならば、ステップ1によって成立する。
「<」ならば、ステップ1と、さらに、
 ステップ2によって個数を1つずつ下げても成立することから、
以上より、任意のnについて成立する・・・と理解したいのだが・・・
 
例えば、n=7個の数の場合は、
n=2^3=8個の場合、n=2個の場合を3回使うことで証明できる。
ということは、ステップ2と同様にして、
n=8-1=7個の場合も成り立つということになる。
 
(間違っていたら、コメントまたは御一報いただければ幸いです)
 
(2006年10月31日
 →2010年12月29日に一部書き直し)
(2013年05月02日、修正加筆)
 


  諸刃
 
昔スケート場で転んで
そこを勢いよく踏まれたのだろう
手の指十本
切断したという話を聞いた
若いころ台風の夜
揺れながら震えながら
風に吹かれながら路上で
遊んでいたトタン板が
突然目にも留まらぬ速さで襲ってきて
寸前で横に逸(そ)れたときは
突風の強さに驚くより
厳しい警告を受けて血も凍る思いだった
楽しいもの
ありふれたもの
諸刃(もろは)の剣
雨風を凌(しの)ぐための屋根や壁は
人を押し潰す圧力であり
バイクは血の気の引いた顔を乗せて
ワインディングロードから
転落する遠心力であり
温泉へ向かうエアコンの効いた車は
ナビゲーションを見なくても
黄泉へ向かう道だけは常に知っている
便利になればなるほど
諸刃の剣は増えてゆき
鋭くなる
油断大敵
油がこの季節
この時代
最も危ない剣の一つではあるのだが
灯油臭い乾燥した部屋で
買い物のレシートをまっすぐに伸ばせば
見るがいい
まっすぐに指を切った
 
(1999年12月25日)
 
 
  冬の悲鳴
 
ひええっ
と細い木が立っていた
寒風に吹かれて
幹は揺れ
枝は震えながら
花も実も葉も落ちて痩せ細った裸のように
でも萎えてはいなかった
裸でもなかった
枝は天空のあらゆる方向を指していたし
幹は樹皮に覆われ揺れながらも
真っ直ぐ上に向かって立っていた
すでに春の訪れを知っているかのように
強(したた)かに芽吹きの準備をしているのだろう
とても冷たい風の強い日だった
気が立っているのか萎えているのか結局
ひええっ
だけが私のものだった
 
(2000年02月07日)
 
 
 
 
 

前にリンクで示した問題と解答例?も含めて、
ここに書いていくことにしました。
 
 大きくなると
 難しいことが
 いっぱいあるものさ
 
問題:
記号は何を使ってもよいとして
 数字「4」を4つ使って(「44」なども可)
 0から100までの自然数を表す。
 
解答例:答えは1つとは限りません。
 
0から10までは小学生レベル・頭の体操です。
(解答例は下のほうに)
 
11以上になると小中学~高校~それ以上
苦し紛れです
 
<11から100まで:>
11=44÷√4÷√4
12=4×4-√4-√4
13=44÷4+√4
14=4×4-(4/√4)
15=4×4-(4/4)
16=4+4+4+4
17=4×4+(4/4)
18=4×4+(4/√4)
19=4!-(4÷4+4)
(※ 4!=4×3×2×1=24)
20=4×4+√4+√4
21=4!+(4/4)-4
22=4×4+4+√4、44÷(4/√4)
23=4!-(√4×√4÷4)
24=4×4+4+4、44÷√4+√4
25=(4÷4+4)^(√4)、4!+√4×√4÷4
26=4!+(4+4)/4
27=4!+√4+(4/4)
28=4!+4+4-4
29=4!+4+(4/4)
30=4!+√4+√4+√4
31=4!+(4!+4)/4
32=4×√4×√4×√4
33=4!!×4+(4/4)、4!+4!!+(4/4)
(※ 4!!=4×2=8 
 N!!はNから1つおきに最小自然数までかける)
34=4×4×√4+√4
35=4!+(44÷4)
36=4×4×√4+4、(√4+√4+√4)^(√4)
37=4!+(4!+√4)/√4
38=4!+4×4-√4、(4+√4)^(√4)+√4
39=4!+(4+√4)C4
(※ Cは組み合わせ、6C4=15)
40=(4+4+√4)×4、44-√4-√4
41=44-(4!/4!!)
42=44-4+√4
43=44-(4/4)
44=44+4-4、44×4÷4、4!+4!-√4-√4
45=44+(4/4)
46=44+4-√4
47=4!+4!-(4/4)
48=4!+4!+4-4、44+√4+√4
49=4!+4!+(4/4)
50=44+4+√4
51=4!+4!+(4!/4!!)
52=4!+4!+√4+√4、44+4+4
53={ (((4!!)!/(4!!)!!)+√4)÷√4 }
(※ { }はガウスの記号
 {N}はNを超えない最大の整数
 {53.5}=53)            ・・・?
54=4!+4!+4+√4、44+4!!+√4、
  (4!+(4!/4!!))×√4
55=Σ(k=(4/4)~(4!!+√4)k・・・?
56=4!+4!+4+4、44+4!!+4
57=(4!/4!!)^4-4!
58=4!+4!+4!!+√4
59=arccos(√4/4)-(4/4)・・・???
(※ arccosはcosの逆関数
 arccos(1/2)はcosθが(1/2)になる角度θ
 ここでは360度法の数値・・・???)
60=4!+4!+4!!+4、(4!!+√4)(4+√4)
61=4!!×4!!-(4!/4!!)
62=4!!×4!!-4+√4、4×4×4-√4
63=4!!×4!!-(4/4)
64=4!!×4!!+4-4、4×4×√4×√4
65=4!!×4!!+(4/4)
66=4!!×4!!+4-√4、4×4×4+√4
67=4!!×4!!+(4!/4!!)
68=4!!×4!!+√4+√4、4×4×4+4、
   4!×4!÷4!!-4
69=&H44+(4/4)・・・・・・・・・・・???
(16進数&H44=4×16+4=68)
70=4!!×4!!+4+√4、4!×4!÷4!!-√4
71=&H44+(4!/4!!)・・・・???
72=4!!×4!!+4+4
73=(4!/4!!)^4-4!!
74=4!!×4!!+4!!+√4、4!×4!÷4!!+√4
75=arccos((√(4+√4)-√√4)/4)・・・???
(※ cos75=sin15=sin(45-30)=((√6-√2)/4)
76=4!!×4!!+4!!+4
77=(4!/4!!)^4-4
78=(4!!+√4)×4!!-√4
79=(4!/4!!)^4-√4
80=(44-4)×√4、(4×4+4)×4
81=(4!/4!!)^(√4+√4)
82=(4!!+√4)×4!!+√4
83=(4!/4!!)^4+√4
84=4!×4-4!!-4
85=(4!/4!!)^4+4
86=4!×4-4!!-√4、44×√4-√4
87=arcsin(4/4)-(4!/4!!)・・・・・・???
88=44+44、4!×4-4-4
89=(4!/4!!)^4+4!!
90=44×√4+√4、4!×4-4-√4
91=arcsin(4/4)+(4/4)・・・・・・・???
92=4!×4-√4-√4
93=4!×4-(4!/4!!)
94=4!×4-4+√4
95=4!×4-(4/4)
96=4!×4+4-4
97=4!×4+(4/4)
98=4!×4+4-√4
99=4!×4+(4!/4!!)
100=4!×4+√4+√4、(4!!+√4)^√4
 
<0から10まで:>
0=4-4+4-4、4×4÷4-4
1=4÷4×4÷4
2=(4÷4)+(4÷4)
3=(4+4+4)/4
4=(4-4)×4+4
5=(4×4+4)/4
6=4+(4+4)÷4
7=4+4-(4÷4)
8=4×4÷4+4
9=4+4+(4÷4)
10=(44-4)÷4
 
もっと簡単な解答や一般解があれば、
コメントまたは御一報いただければ幸いです。
 
(2007年07月27日)
 


  酒と氷
 
鈍色の罪深き感傷のために
裁かれているのだと
割れもしない紙コップの明け暮れを
受け入れ始めている
屈曲して無へ走る崩落よ
トクントクントウントウン・・・
かつて心静かに
その響きを聴くこともなかった
温かくもない手の中で
溶ける氷が互いのつくる隙間に
浮きながら落ちて屈折と傾きを
消滅へ向かって姿勢を変えるとき
チリンと小さく鳴らす音も聴かなかった
だらしない接吻を繰り返し
鈴のように軽く振って遊び
理由もなく笑うことに抵抗もなく
焼けてゆく眼と咽にさらに油を注いで
酔い潰れていく顔が
蒼ざめていくだけだった
むしろ下戸であればよかった
カラカラカラと振るほどに笑って
琥珀色の航海は
今はアイスティーの中でさらりと揺れている
 
(1997年4月29日)
 
 
  べき
 
来るべきものが来ない
有るべきものが無い
来る約束も
有るという保証も無かった
身勝手な「べき」
身から出た「べき」だと気付いたら
外に向かって振りまわすな
誰にも見せず言わず
身に深くしまっておくか
割ってしまえ折ってしまえ
べきべきべき・・・
それでもまだ
為すべきことを為していないと
身に「べき」を重ねる乗せる累々と
あっという間に膨大な「べき」に
押しつぶされそうになりながら
べきべきべき・・・
 
(2002年06月02日)
 
 
  送り・過ごし
 
いったい幾度の別れを
幾人の死を
送別・告別の礼を見過ごしながら
見送るのだろう
名も無き送り
名も無き過ごし
尊い人々
私の死を見送る者はいない
私は死にながら
生きながらにして見過ごされるのだ
無名と無礼とウソに
日々を年月を送り過ごして
過ちという過ちに送り出されて
 
(2002年06月03日)
 
 
 
 

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