今なぜ生きていると問うて
あの時、あの時、そしてあの時と
さかのぼれば結局いつも
なぜ生まれたか
という問いだけが残ってしまう
問題 任意の自然数nについて、一次化を用いずに、
sinXのn乗の積分(ここでは=∫sin^n Ⅹ dⅩと表記します。)
を一般的に求める方法を試みてみましたが、
n乗だと「・・・」だらけになるので、とりあえず、
n乗については説明だけにして、具体的には、
∫sin^9 Ⅹ dⅩ を求めてみます。
(ヒント)Pn(X)=(sin^(n-1) X)(cosX)として、その微分
Pn'(X)をsin^? X で表す。
解答の試み:
一般的には
Pn'(X)=(n-1)sin^(n-2) X - n*sin^n X
P(n-2)'(X)=(n-3)sin^(n-4) X -(n-2)*sin^(n-2) X
(n-1) (n-1)
∴―――P(n-2)'(X)=―――(n-3)sin^(n-4) X -(n-1)sin^(n-2) X
(n-2) (n-2)
というふうにnを2つずつ減らしながら
上の第1項と下の第2項が相殺されるように
係数を掛けていきます。そうしてnが0か1になるまでを足すと
右辺は、中間が相殺されて、第2項にsin^n X が残り
第1項はnが偶数ならば(係数)*1が、
奇数ならば(係数)*sin X が残ります。
左辺は、(係数)*P?'(X) の和になります。
その式において sin^n X 以外は積分可能なので
両辺を積分して整理することによって
∫sin^n X dx = (1つのXか)(たくさんのsinX,cosXの和)
として求められるのではないかと考えました。
では、n=9 の場合について:
P9'(X)=8sin^7 X - 9sin^9 X ------------------(1)
P7'(X)=6sin^5 X - 7sin^7 X (8/7を両辺に掛ける)
8 8*6
∴ ――P7'(X)=――sin^5 X - 8sin^7 X --------(2)
7 7
P5'(X)=4sin^3 X - 5sin^5 X (8*6/7*5を両辺に掛ける)
8*6 8*6*4 8*6
∴ ―――P5'(X)=―――sin^3 X - ――sin^5 X -----------(3)
7*5 7*5 7
P3'(X)=2sinX-3sin^3 X (8*6*4/7*5*3を両辺に掛ける)
8*6*4 8*6*4*2 8*6*4
∴ ――― P3'(X)= ――――sinX - ―――sin^3 X ------(4)
7*5*3 7*5*3 7*5
(1)+(2)+(3)+(4)、右辺中間は相殺されて
8*6*4*2
右辺=―――― sinX - 9sin^9 X
7*5*3
さらに右辺左辺を整理すると
8*6*4*2 1 8 8*6
sin^9 X = ―――― sinX - ――P9'(X) - ―― P7'(X) - ――― P5'(X)
9*7*5*3 9 9*7 9*7*5
8*6*4
- ―――― P3'(X)
9*7*5*3
積分すると P? '(X) は P?(X) になるので元の関数に戻す
8*6*4*2 1 8
∫sin^9 ⅩdⅩ = - ―――― cosX - ― (sin^8 X)cosX - ―― (sin^6 X)cosX
9*7*5*3 9 9*7
8*6 8*6*4
- ――― (sin^4 X)cosX - ―――― (sin^2 X)cosX + C(積分定数)
9*7*5 9*7*5*3
なお
同じようなことですが、
Pn'(X)=(n-1)sin^(n-2) X - n*sin^n X より
n*sin^n X = (n-1)sin^(n-2) X - Pn'(X)
sin^n X = ((n-1)/n)(sin^(n-2) X )- (1/n)Pn'(X)
∴ ∫sin^n X dX = ((n-1)/n)∫sin^(n-2) X dX - (1/n)Pn(X)
nの任意性より、この式の n を n-2 に置き換えた式
∫sin^(n-2) X dX = ((n-3)/(n-2))∫sin^(n-4) X dX - (1/(n-2))Pn-2(X)
を上の式の∫sin^(n-2) X dX に代入してゆく方法もあります。
部分積分の形で n を2つずつ減らしてゆくという方法です。
(2008年6月18日加筆分)
以上のことを考えながら・・・ちょっと苦しいが・・・?
一応、試みに ∫sin^nⅩdⅩ の一般解を出してみた・・・(汗)。
mを自然数として
(1) n=2m(偶数)の場合
∫sin^nⅩdⅩ=∫sin^(2m)ⅩdⅩ=
(2m-1)!! m (2m-1)!!(2m-2k)!!
―――――Ⅹ-<シグマ> { ―――――――――― sin^(2m-2k+1)Ⅹ cosⅩ}+C
(2m)!! k=1 (2m)!!(2m-2k+1)!!
(2) n=2m+1(奇数)の場合
∫sin^nⅩdⅩ=∫sin^(2m+1)ⅩdⅩ=
(2m)!! m (2m)!!(2m-2k+1)!!
- ―――― cosⅩ- <シグマ>{――――――――――― sin^(2m-2k+2)Ⅹ cosⅩ}+C
(2m+1)!! k=1 (2m+1)!!(2m-2k+2)!!
(※ (2m)!!=2m(2m-2)(2m-4)*・・・*6*4*2
(2m+1)!!=(2m+1)(2m-1)(2m-3)*・・・*5*3*1
なお 0!!=(-1)!!=1 と定義されているらしい。
またCは積分定数。)
(ちょっと自信のない2008年6月18日加筆分終わり)