数学サイト
http://blog.livedoor.jp/mazra627/archives/65509108.html?1314708081#comment-form
からの問題
第143回「可視領域」
問題
広い場所に高さ５．５ｍの棒が垂直に立っています。
遠くからこの棒に向かって秒速１ｍでまっすぐ進みます。
上から5ｍの赤い部分を見込む角度（χ）が３０°以上であるように見えるのは何秒間でしょうか？
ただし、目の高さは地面の位置（高さ０ｍ）とします。
解答例 ：
ｘを、地面から赤い５ｍの部分を
見上げる視野角と解釈します。
遠すぎると視野角は小さくなります。
近すぎても、横から見るのに近くなり、
視野角は小さくなります。
その間に視野角ｘ＝３０°になる２点があり、
２点を含む間でｘ≧３０°になる。
解答例１：めんどくさい計算 図１
上図１のように
tanα＝b／ｕ ―――――――――――――――――――――（１）
tan（ｘ＋α）
＝(tanｘ＋tanα)／（１－tanｘtanα）＝(a＋b)／ｕ ――――――（２）
以下めんどくさいので計算は端折ります。（１）（２）より
tanｘ＝ａｕ／（ｕ^２＋ｂ（ａ＋ｂ）） ―――――――――――――（４）
ｘ＝３０°、ａ＝５、ｂ＝１／２ を代入して結局
１６ｕ^４－１１１２ｕ^２＋１２１＝０
という方程式になり、解くと、
ｕ^２＝（１３９±２√４８００)／４＞０ （ｕ＾２は、きわどく正）
そして、６４＋７５＝１３９，６４×７５＝４８００より
上図２のように
３０°になる遠い点をＡ、近い点をＢとする。
そうすると赤の棒を弦として、
その両端(下Ｃ、上Ｄ)と、
ＡとＢは、円周角として、同一円周上にある。
弦が５、円周角が３０°だから、
中心角６０°で半径は５になる。
その円をＯとして
ＣＤの右側に地面（Ｕ軸）と垂直な接線を引き
これをＶ軸とする。接線Ｖ軸とＣＤは平行なので、
接点のＶ座標＝円Ｏの中心のＶ座標
＝１／２＋５／２＝３
Ｕ座標＝－半径＝－５
円Ｏの中心のＵＶ座標(－５，３）、半径５より
円：(Ｕ＋５)^２＋（Ｖ－３）^２＝２５
Ａ，Ｂは、Ｖ＝０として
Ｕ^２＋１０Ｕ＋２５＋９＝２５
（Ｕ＋１）（Ｕ＋９）＝０ → Ｕ＝－１，－９
Ａ（－９，０），Ｂ（－１，０） ∴ＡＢ＝８，
１ｍ／秒より、通過時間８秒 （答え？）
解答例３：図形を中心に 図３
上図３のように
http://blog.livedoor.jp/mazra627/archives/65509108.html?1314708081#comment-form
からの問題
第143回「可視領域」
問題
広い場所に高さ５．５ｍの棒が垂直に立っています。
遠くからこの棒に向かって秒速１ｍでまっすぐ進みます。
上から5ｍの赤い部分を見込む角度（χ）が３０°以上であるように見えるのは何秒間でしょうか？
ただし、目の高さは地面の位置（高さ０ｍ）とします。
解答例 ：
ｘを、地面から赤い５ｍの部分を
見上げる視野角と解釈します。
遠すぎると視野角は小さくなります。
近すぎても、横から見るのに近くなり、
視野角は小さくなります。
その間に視野角ｘ＝３０°になる２点があり、
２点を含む間でｘ≧３０°になる。
解答例１：めんどくさい計算 図１
上図１のように
tanα＝b／ｕ ―――――――――――――――――――――（１）
tan（ｘ＋α）
＝(tanｘ＋tanα)／（１－tanｘtanα）＝(a＋b)／ｕ ――――――（２）
以下めんどくさいので計算は端折ります。（１）（２）より
tanｘ＝ａｕ／（ｕ^２＋ｂ（ａ＋ｂ）） ―――――――――――――（４）
ｘ＝３０°、ａ＝５、ｂ＝１／２ を代入して結局
１６ｕ^４－１１１２ｕ^２＋１２１＝０
という方程式になり、解くと、
ｕ^２＝（１３９±２√４８００)／４＞０ （ｕ＾２は、きわどく正）
そして、６４＋７５＝１３９，６４×７５＝４８００より
二重√を外すことが可能で
ｕ＝±(８±５√３)／２ という４つの解を得る。
この中でｕが正の解は、
(８＋５√３)／２ と （－８＋５√３)／２ であり、
その差を取って、８ｍ 通過時間８秒 (答え？)
解答例２：別の計算による解法 図２
ｕ＝±(８±５√３)／２ という４つの解を得る。
この中でｕが正の解は、
(８＋５√３)／２ と （－８＋５√３)／２ であり、
その差を取って、８ｍ 通過時間８秒 (答え？)
解答例２：別の計算による解法 図２
上図２のように
３０°になる遠い点をＡ、近い点をＢとする。
そうすると赤の棒を弦として、
その両端(下Ｃ、上Ｄ)と、
ＡとＢは、円周角として、同一円周上にある。
弦が５、円周角が３０°だから、
中心角６０°で半径は５になる。
その円をＯとして
ＣＤの右側に地面（Ｕ軸）と垂直な接線を引き
これをＶ軸とする。接線Ｖ軸とＣＤは平行なので、
接点のＶ座標＝円Ｏの中心のＶ座標
＝１／２＋５／２＝３
Ｕ座標＝－半径＝－５
円Ｏの中心のＵＶ座標(－５，３）、半径５より
円：(Ｕ＋５)^２＋（Ｖ－３）^２＝２５
Ａ，Ｂは、Ｖ＝０として
Ｕ^２＋１０Ｕ＋２５＋９＝２５
（Ｕ＋１）（Ｕ＋９）＝０ → Ｕ＝－１，－９
Ａ（－９，０），Ｂ（－１，０） ∴ＡＢ＝８，
１ｍ／秒より、通過時間８秒 （答え？）
解答例３：図形を中心に 図３
上図３のように
△ＯＣＤが正三角形なので
円Ｏの半径＝ＣＤ＝５
ＡＥが直径だから△ＥＡＢは直角三角形
ＡＥ＝１０，そしてＥＢ＝Ｅ’Ｈ＝ＣＤ＋ＤＥ’＋ＣＨ
＝５＋１／２＋１／２＝６
以上より△ＥＡＢは、３：４：５の直角三角形
ゆえに、ＡＢ＝８ 通過時間は８秒 (答え？)
※ ちなみに
少し一般的に、視野角をｘ、
ＣＤ＝ａ、ＣＨ＝ｂ、半径ｒ、とすると、
ＯＤと水平のなす角は、中心角／２＝円周角＝ｘ
ｒ・sinｘ＝ａ／２ → ｒ＝ａ／２sinｘ ―――――――――（３）
三平方の定理より
ＡＥ^２＝直径(斜辺)^２
＝(２ｒ)^２＝ＡＢ^２＋（ａ＋２ｂ）^２
∴（３）より
ＡＢ＝√（４ｒ^２－（ａ＋２ｂ）^２）
＝√(４（ａ／２sinｘ)^２－（ａ＋２ｂ）^２）
＝√(ａ／sinｘ)^２－（ａ＋２ｂ）^２）
問題のように、ｘ＝３０°、ａ＝５， ｂ＝１／２、
ＣＤ＝半径＝５を代入すると、
ＡＢ＝√(１００－３６)＝√６４＝８となります。(検算？蛇足)
さらに、ｘの最大値は分からないが、
tanｘの最大値について・・・あまり自信はないです。
上の（４）より
tanｘ＝ａｕ／（ｕ^２＋ｂ（ａ＋ｂ））
＝ａ／（ｕ＋ｂ（ａ＋ｂ）／ｕ）
ここで、ｘ，ａ，ｂ，ｕ は正だから
相加平均≧相乗平均より
tanｘ
円Ｏの半径＝ＣＤ＝５
ＡＥが直径だから△ＥＡＢは直角三角形
ＡＥ＝１０，そしてＥＢ＝Ｅ’Ｈ＝ＣＤ＋ＤＥ’＋ＣＨ
＝５＋１／２＋１／２＝６
以上より△ＥＡＢは、３：４：５の直角三角形
ゆえに、ＡＢ＝８ 通過時間は８秒 (答え？)
※ ちなみに
少し一般的に、視野角をｘ、
ＣＤ＝ａ、ＣＨ＝ｂ、半径ｒ、とすると、
ＯＤと水平のなす角は、中心角／２＝円周角＝ｘ
ｒ・sinｘ＝ａ／２ → ｒ＝ａ／２sinｘ ―――――――――（３）
三平方の定理より
ＡＥ^２＝直径(斜辺)^２
＝(２ｒ)^２＝ＡＢ^２＋（ａ＋２ｂ）^２
∴（３）より
ＡＢ＝√（４ｒ^２－（ａ＋２ｂ）^２）
＝√(４（ａ／２sinｘ)^２－（ａ＋２ｂ）^２）
＝√(ａ／sinｘ)^２－（ａ＋２ｂ）^２）
問題のように、ｘ＝３０°、ａ＝５， ｂ＝１／２、
ＣＤ＝半径＝５を代入すると、
ＡＢ＝√(１００－３６)＝√６４＝８となります。(検算？蛇足)
さらに、ｘの最大値は分からないが、
tanｘの最大値について・・・あまり自信はないです。
上の（４）より
tanｘ＝ａｕ／（ｕ^２＋ｂ（ａ＋ｂ））
＝ａ／（ｕ＋ｂ（ａ＋ｂ）／ｕ）
ここで、ｘ，ａ，ｂ，ｕ は正だから
相加平均≧相乗平均より
tanｘ
≦ａ／２√（ｕ×ｂ（ａ＋ｂ）／ｕ）
＝ａ／２√（ｂ（ａ＋ｂ））
（問題では）
＝５／２√（（１／２）（１／２＋５））
＝５／２√（１１／４）
＝５／√１１ ・・・（tanｘの最大値？？？）
そのとき、ｕ＝ｂ（ａ＋ｂ）／ｕ
ｕ^２＝ｂ（ａ＋ｂ） → ｕ＝√（ｂ（ａ＋ｂ））
（問題では）
ｕ＝√（（１／２）（１／２＋５））
＝√１１／２ ・・・かな？？？
(２０１１年０８月３１日、同日、余計なこと？加筆修正)
＝ａ／２√（ｂ（ａ＋ｂ））
（問題では）
＝５／２√（（１／２）（１／２＋５））
＝５／２√（１１／４）
＝５／√１１ ・・・（tanｘの最大値？？？）
そのとき、ｕ＝ｂ（ａ＋ｂ）／ｕ
ｕ^２＝ｂ（ａ＋ｂ） → ｕ＝√（ｂ（ａ＋ｂ））
（問題では）
ｕ＝√（（１／２）（１／２＋５））
＝√１１／２ ・・・かな？？？
(２０１１年０８月３１日、同日、余計なこと？加筆修正)
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何がめんどくさいといって、前にまとめた２つと今回考えた１つ（２番目）の
３つの解答例をまとめるのに時間がかかりました。・・・終わりのほうは
間違っているかもしれません。コメントいただければ幸いです。
