ウソの国-詩と宗教:st5402jp

キリスト信仰、カルト批判、詩のようなもの、思想・理念、数学・図形、などを書いています。

2011年11月


わだかまる常の中で
 
 
入り組んだ文脈の中で
私が傷つく言葉があるとすれば
「あなたを傷つけるつもりはなく・・」
の一文だけだった
 
この一文によって
私は「傷ついたから文句を言った人」
ということになるのだろうか
 
私は疑問を提示し
異なる意見を述べただけだが
そこに「いたわり」を求める文脈があっただろうか
 
私はそれほど
かわいそうな人と見なされていたのか
 
様々な場面で
伝えようとして届かず、伝わっても来ないとき
悩みながら人は
不可避な自己中心から
色々な気遣いをするのだが
そこにおいて
自分が傷つかないための
好ましい関係の保持や修復以上に
人が見出すべきは罪である
 
見出そうとする意思のないところでは
罪は先入観になってゆく
 
感受すれば認知して
わだかまりのかたまりを
気づかないまま飛び越えて
実なしの「見なし」が固定してゆくからだ
 
(2011年11月12日)
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高校レベルの数学の問題を3日かけて解いて、
疲れたけれど、すっきりした。しかし
人間関係の問題は、数学とは違って、解れたつもりでも、
すっきりというわけにはいかず、
わだかまりを常とするようです。失礼。
 
 
 
 


前2記事に加えて、さらに、
正n角形にまで関数を広げられそうです。
正n角形のそれぞれの頂点が隣り合う頂点を追いかける軌跡と長さ。
 
「頂点同士が追いかける正n角形・関数」
イメージ 1

まず図1において、正n角形では、
辺ABと、中心と頂点の距離OAには
次の関係が成立する。
 
 2×OA×sin(π/n)=AB ――――――――――――(1)
 
前と同じように、極座標で、
OA=f(θ)として、Aの軌跡をθの関数で表す。
微小なθの増分⊿θについて考える。
イメージ 2

OA=f(θ)、OP=f(θ+⊿θ)
OP×sin⊿θ=(OA-OP×cos⊿θ)×tan(π/2-π/n)
  tan(π/2-π/n)=1/tan(π/n) だから、
 
f(θ+⊿θ)×sin⊿θ
=(f(θ)-f(θ+⊿θ)×cos⊿θ)/tan(π/n)
=(f(θ)-f(θ+⊿θ)
+f(θ+⊿θ)×(1-cos⊿θ))/tan(π/n)
 
両辺を ⊿θで割って、⊿θ→0 の極限値を求めると
(前の記事の(9)参照)
 
f(θ)=-f’(θ)/tan(π/n)
    =-(1/tan(π/n))f'(θ)
 
f’(θ)=(-tan(π/n))×f(θ)
 
この微分方程式が成立するのは、
 
 f(θ)= K×e^(-tan(π/n)×θ) ――――(2)
    (Kは定数)
 
前記事(10)より、曲線の長さ Z(θ) を求める。
 
Z(θ)=∫(0→θ)√(f’(θ)^2 + f(θ)^2)dθ
=K×∫(0→θ)e^(-tan(π/n)×θ)
           ×√(tan^2(π/n)+1)dθ
=K×(-1/tan(π/n)×√(tan^2(π/n)+1)
      ×(e^(-tan(π/n)×θ)-1)
 
=K×√(1+1/tan^2(π/n))×(1-e^(-tan(π/n)×θ))
(θ→∞ では)
→ K×√(1+1/tan^2(π/n))
 
あ、ちょっと考えると、
√(1+1/tan^2(π/n))
=√((tan^2(π/n)+1)/tan^2(π/n))
=√(sin^2(π/n)+cos^2(π/n))/sin^2(π/n))
=√(1/sin^2(π/n))=1/sin(π/n) だから、
 
Z(θ)=(K/sin(π/n))×(1-e^(-tan(π/n)×θ))---(答え)―――(3)
(θ→∞ では、)
Z(θ)→ K/sin(π/n) ---(軌跡の長さ、答え)――――――――――(4)
 
ここで定数Kについて、(2)より、
f(0)=K 即ち、θ=0のときの OA であるが、
(1)より、
 
1.辺の長さをLとすれば、K=L/(2×sin(π/n))――(5)
 
2.半径rの円に内接する正n角形ならば、K=r となる。
 
1でも2でも、θ≧0において
 Z’(θ)>0なので、Z(θ)は、増加関数になる。
 
言うまでもないが、
n→∞ のときは、f(θ)→K、Z(θ)→∞ となる。
正n角形→円になるからである。
 
(4)(5)によって、一辺の長さが L の場合について、
前に求めた正三角形と正方形と正六角形の
曲線軌跡の長さを、θ→∞で、求めて検算してみます。
 
正三角形の場合、n=3
 L/(2×sin^2(π/3))=L/2×(√3/2)^2
 =L/(2×3/4)=L/(3/2)=L×(2/3)
 
正方形の場合、n=4
 L/(2×sin^2(π/4))=L/(2×(1/√2)^2
 =L/(2×(1/2))=L
 
正六角形の場合、n=6
 L/(2×sin^2(π/6))=L/(2×(1/2)^2)
 =L/(2×(1/4))=L/(1/2)=L×2
  
(2011年11月06日、同日一部修正)
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drn**827様、ありがとうごぜえますだ・・(苦笑)
SNSにも似たような詳しい人がいて、
数学関係でお世話になってます・・・。
検算もしたから、大丈夫とは思いますが、
コメントいただければ幸いです。
それにしても疲れた・・・なんだろ・・
何の足しにもならないのに、この熱~執着・・・??
 
 
 
 

前の記事「頂点同士が追いかける正多角形」に
寄せられた貴重なコメントを参考にして、
あまり自信はないのですが、一応、一生懸命に
頂点が描く螺旋曲線の極座標における関数を考えてみました。
 
「頂点同士が追いかける正方形:関数」
 
図1において
動点Aの軌跡を関数として、つまり極座標において
OA=rをθの関数 f(θ)として表したいと思う。
 r=f(θ)――――――――――――――――――――(1)
ここでは正方形の一辺をLとする。
f(0)(=図1より対角線の半分)=L/√2 となる。――――(2)
イメージ 1
OAとOBは同じ動きをすることから、
△OABは常に直角二等辺三角形である。
AのベクトルはOAに対して45°の角度を持ち、
BのベクトルはOBに対して45°の角度を持つ。
したがって前の記事に書いたように
速度ベクトルAとBは直角であることに変わりない。
 
Aが微小な角度⊿θの分だけ移動した場合を
少し誇張して描いたのが図2である。
イメージ 2
ここから私にとっては複雑な計算になった。
△PHAは直角二等辺三角形なので、
 
f(θ+⊿θ)×sin⊿θ=PH=AH
 =OA-OH
 =f(θ)-f(θ+⊿θ)×cos⊿θ
 
f(θ+⊿θ)-f(θ)
=f(θ+⊿θ)-f(θ+⊿θ)×sin⊿θ
        -f(θ+⊿θ)×cos⊿θ
 
=f(θ+⊿θ)-f(θ+⊿θ)×(sin⊿θ+cos⊿θ)
=f(θ+⊿θ)(1-sin⊿θ-cos⊿θ)
 
両辺を⊿θで割って、
(f(θ+⊿θ)-f(θ))/⊿θ
=f(θ+⊿θ)×((1-cos⊿θ)/⊿θ-sin⊿θ/⊿θ)
                ↓
                ↓ ⊿θ→0
                ↓
    f’(θ)=f(θ)×(0-1)=-f(θ)―――――(3)
 
(∵ lim(⊿θ→0)sin⊿θ/⊿θ=1 より、
 また、(1-cos⊿θ)/⊿θ
 =(1-cos^2⊿θ)/(⊿θ×(1+cos⊿θ))
 =sin^2⊿θ/(⊿θ×(1+cos⊿θ))
 =sin⊿θ×(sin⊿θ/⊿θ)/(1+cos⊿θ)
          ↓
          ↓ ⊿θ→0
          ↓
        0×1/2 =0 より )――――――――――(9)
 
(3)より、 f’(θ)=-f(θ)
この微分方程式が成り立つのは、
       f(θ)=A×e^(-θ) (A:定数)となる。――(4)
(ここが、ちょっと自信がないのだが・・・)
 
(4)と(2)より、f(0)=A=L/√2 ――――――――(5)
 
    (4)と(5)より、
 OA=r=f(θ)=(L/√2)×e^(-θ)―――――――――(6)
 
△OABが常に直角二等辺三角形であることから、
 
 AB=OA×√2=L×e^(-θ) ―――――――――――――(7)
 
(6)と(7)より、OAとABが0になるのは、
θは有限値ではなく、θが無限大のときになる。――――――――――(8)
 
さて、ここで、問題の螺旋曲線の長さを求めるために、
極座標の関数について、関数の曲線の長さ(Z(θ)とする)を考える。
図2において、微小な⊿θにおいては、余弦定理より、
微小な⊿Z^2=AP^2=OP^2+OA^2-2×OP×OA×cos⊿θ
∴ ⊿Z=√(f(θ+⊿θ)^2+f(θ)^2
           -2×f(θ+⊿θ)×f(θ)×cos⊿θ)
=√(((f(θ+⊿θ)-f(θ))^2
     +2×f(θ+⊿θ)×f(θ)×(1-cos⊿θ))
 
∴ ⊿Z/⊿θ=√((f(θ+⊿θ)-f(θ))/⊿θ)^2
   +2×f(θ+⊿θ)×f(θ)(1-cos⊿θ))/⊿θ^2
=√((f(θ+⊿θ)-f(θ))/⊿θ)^2
 +2×f(θ+⊿θ)×f(θ)
 ×((1-cos^2⊿θ))/⊿θ^2)/(1+cos⊿θ))
=√((f(θ+⊿θ)-f(θ))/⊿θ)^2
+2×f(θ+⊿θ)×f(θ)×(sin⊿θ/⊿θ)^2/(1+cos⊿θ)
         ↓
         ↓ ⊿θ→0
         ↓
dZ/dθ =√(f'(θ)^2+f(θ)^2)
 
 ∴ Z(θ)=∫√(f'(θ)^2+f(θ)^2)dθ ――――(10)
 
(10)に(6)を当てはめると、
 
螺旋曲線軌跡の長さ、(8)より、
=∫(0~∞)√(((-L/√2)×e^(-θ))^2
          +((L/√2)×e^(-θ))^2)dθ
=L×∫(0~∞)√(e^(-2θ)dθ
=L×∫(0~∞)e^(-θ)dθ
=L×[-e^(-θ)](∞-0)  ―――――――――――(11)
=L×(-0-(-e^0))=L×(+1)
  =L (即ち正方形の一辺の長さ)----------(答え)
 
これは、(8)より、θが無限大のときであるから、
前の記事において描いた螺旋曲線は大まかであるが、
さらに訂正せざるを得ない。(正確には描けません)
イメージ 3
前の記事の図とは違って
図3のように、
軌跡は螺旋状になるが、その角度は無限大まで続く。
最終的には、図3の円で雑に表したが、ぐるぐるの渦巻きのように
中心の周りを無限に回る軌跡になる。
角度が無限に続いても、軌跡の長さは正方形の一辺の長さに収束し、
それを超えないということだろうと思う。
 
なお、有限のθまでの軌跡の長さは(11)の定積分より、
無限大をθに置き換えると
L×((-e^(-θ)-(-1)))
    =L(1-e^(-θ)) となる。
 
(2011年11月05日)
(2011年11月06日、終わりのところを補足追加)
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疲れました・・・でも間違っているかもしれません。
コメントいただければ幸いです。
 
 
 
 


TV「たけしのコマ大数学科」最近の問題から
「頂点同士が追いかける正多角形」
 
問題:
 
一辺の長さAB=5mの正方形ABCDがある。
AはBを、BはCを、CはDを、DはAを、
同じ速度で追いかけるとき、
AがBに追いつくまでの道のりの距離を求める。
 
 
解答例:
 
動点が動点を追うのだから、
軌跡は曲線になるだろうと推測できる。
また
各頂点の動く条件は同じだから、
各頂点の曲線は同じ形になるだろう。
そうなると
AがBに追いつく点は、BがCに追いつく点と同じだから、
つまり4頂点は同じ点で重なり、
それは正方形の中心で、点対称になるだろう、
曲線は恐らく螺旋になるだろう、という直観的理解が可能である。
 
それを大まかに描いたのが下図右であり(不正確)、
微小な移動距離を誇張して描いたのが下図左である。
 
軌跡の曲線や頂点間の距離を
関数で表すことが出来ればよいのだが、
それは難しくて出来なかった。
ここでは、ベクトルを考えてみる。
イメージ 2

上の左の図において
Bの速度ベクトルは、Aの速度ベクトルに対して常に直角である。
ということは、Bの速度ベクトルは
Aに近づく成分ベクトルも遠ざかる成分ベクトルも持たない。
つまりBのほうはAに近づくことも遠ざかることもない。
言い換えると、
相対的にBは動かず、AがBに一定の速度で近づくのと同じである。
したがってAがBに到達する道のりの距離は、
一辺の長さつまり最初のAB=5m ということになる。(答え、確認済み)
 
 
正方形では軌跡の長さは一辺の長さに等しくなったが、
他の正多角形では、そうはいかないようだ。
 
正三角形では60°の角度があるから
Bの速度ベクトルはAの方向に近づく成分ベクトルを持つ。
 
正五角形では108°、正六角形では120°というように
正五角形以上では、90°より大きい内角を持つので、
Bの速度ベクトルはAから遠ざかる成分ベクトルを持つ。
 
ここでは
正三角形と正六角形について軌跡の長さを考えてみる。
イメージ 3
 
上図左に示すように
正三角形では、AとBの相対的関係において、
AがXだけ進む間に、BはX/2だけAに近づく。
ゆえにAがBに到達するのは、
Aが一辺の長さ5mの2/3進んだときである。
(そのときBは5mの1/3だけAに近づく)
したがって軌跡の長さは、(2/3)×5=10/3mとなる。
 
上図右に示すように
正六角形では、AとBの相対的関係において、
AがXだけ進む間に、BはX/2だけAから遠ざかる。
 ∴ 図のように、X-5=X/2 → X=10
つまり軌跡の長さは、一辺の長さの2倍、10mとなる。
 
なお、頂点が多ければ多いほど、
内角が大きくなるので、
BがAから遠ざかるベクトル成分が大きくなる。
つまり、それだけAがBに到達する軌跡の長さは大きくなり、
螺旋は渦巻きのような形になるだろう。
 
同じ円に内接する正多角形を考えると、
頂点同士は
近いほど、出会うのには長くかかるのである。・・・(苦笑?)
 
そしてその極限は、蛇足として下図に示すように、
直線上を同じ方向、同じ速度で移動する2点のように、
永遠に出会うことのない2点に近づいてゆくのである。
 
イメージ 1

(2011年11月04日、同日、図など若干修正)
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正方形については答えをTVで確認してますが、
正三角形と正六角形については答えは未確認です。
間違ってるかもしれないので、コメントいただければ幸いです。
 
 
 
 


海の出来事
 
 
小学校の間にクリアすべき課題が3つありました
鉄棒の逆上がり、自転車、泳ぐこと
どれも私は出来ませんでした。
中学校になって
低い鉄棒なら逆上がりは出来るようになり
自転車も何とか乗れるようになりましたが
泳げません
ある日、友だちとプールに行きました
うつ伏せで手足を伸ばして目をつぶって浮く練習
お腹に何か触る
目を開けたら底でした
また友だちは何度やっても出来ないのに
私はプールの底であぐらをかくことが出来た
導かれる結論は
私という人体の比重は1よりも大きい
 
あるとき青年の私は海に行って
泳げないので
海面が胸くらいのところで立っていました
子供がパシャパシャと泳いで来て
私の横で止まって立ち泳ぎを始めました
私は横で見ていました
バシャバシャ・・
あまり上手ではないな、練習か
私は横で見ていました
バシャバシャ・・顔が沈んだり浮いたり
私は見ていました
ゆがんだ顔がとても真剣になりました
私は見ていました
血相が変わり、すごい顔で
手を私のほうに伸ばしてきました
バシャバシャッバシャッバシャバシャバシャ
あれ?と
私は歩み寄り腕を差し出しました
その途端、子供は腕にしがみついてきました
私はしがみつかせたまま歩いて岸のほうへ戻りました
その子の友達が驚いたように
「だいじょうぶや?」とか言ってました
私は「沖へ向かうと危ない。岸に沿って泳ぎなさい」と
言えないまま離れて行きました
 
泳げない私が
少し遅れたけど
溺れかけた子どもを助けた
 
私が為すべきこと、それは正しく
それは私に出来ること
というのが
あのときほど明らかだったことはありません
あれが最初で最後だったような
 
大学も仕事もうまくいかず
還暦近くなって
テレビを見ても、誰の言うことを聞いても
もっともらしく思えるが
実は誰の言うことも信用してなくて
疑い深く
面と向かっては何も言えないくせに
テレビの名言には反名言をためしに呟いてみたり
ネットでは疑問や反対意見や批判や
暗いことばかり書いてる
 
泳げません
 
(2011年11月03日、同日若干修正)
 
 
 
 

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