ウソの国-詩と宗教:st5402jp

キリスト信仰、カルト批判、詩のようなもの、思想・理念、数学・図形、などを書いています。

2013年10月

 
  手で掴めるもの
 
 
1.
 
空気を掴みます
 
両手でもできますが
片手で鷲掴みしたように
手のひらを広げて少し曲げて
ソフトボールを握るようにして
力を抜いて
左右に時計回り反時計回りに
素早く回してみると
 
空気を掴んだような感触を得ます。
 
 
2.
 
両手の10本の指で
最大いくつまで数えられるでしょう。
1本の指は曲げるか伸ばすかの2通りのみとします。
 
伸ばすを1、曲げるを0とすると
 
右手で
00001(1),00011(2),00111(3)、01111(4)、
11111(5),11110(6),11100(7)、11000(8)、
10000(9)、つまり片手で9までかな・・
00000は、0と10の区別がつかない。
 
でも両手を使うと
10は、左手00001右手00000
11は、左手00001右手00001
・・・・ということで・・・
99は、左手10000右手10000
つまり、99までかな・・
これは十進法だが、
 
2進法では、両手で、
10000000000が、2の10乗=1024
したがって、1023は、
左手11111右手11111で表されるので、
つまり、1023までかな・・
片手では、
100000(2の5乗=32)-1
=11111(31)までかな・・
 
 
3.
 
中指と親指でパチンと鳴らすことが出来ます。
実際は中指と親指で鳴らしているのではなく、
弾かれた中指が母指球と薬指の間に当たって
音を響かせているようです。
 
 
手で掴めるもの・・
空気と限りある数、
そして弾かれる音、
石灰のような乾いた命を過ごしています。
 
生きるのに手も指も
無いと不自由だと分かっていながら・・
 
 
(2013年10月09日)
 
 
 
 

 
前の記事 「2次関数曲線の長さ」
http://blogs.yahoo.co.jp/st5402jp/15689120.html
http://note.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/n218175
の積分の計算過程で、Cを積分定数として、
 
 ∫√(1+t^2)dt =  (1/2)( t √(1+t^2)+ log(t+√(1+t^2 )))+C 
                                           ――――(1)
 
を求めて使ったつもりでしたが、いまいち自信がないので、
確認する目的で検索などしておりました。すると、
 
 ∫√(1+t^2)dt
        = (1/2)( t √(1+t^2) + arcsinh (t) ) + C ―――(2)
 
という式が載っていました。・・なんじゃこれは!?・・
対数では表せないのか、間違ったのか、三角関数の逆関数の類か、
と驚きました。知らない関数でした。でも読んでいくと、
 
 arcsinh(t) = log ( t + √( 1 + t^2 )  )  ――――――――――(3)
 
と書いてありました。対数で表せて、(3)より、(1)と(2)は同じ、
つまり正しかったわけですから、ほっとしましたが、
対数を三角関数に似た式で表した arcsinh(t) 
という関数が分かりません。・・で、また悪戦苦闘です。
 
 
問題:
 
  sinh(x)=( e^x-e^(-x))/2 ――――――――――(4)
 
と定義するとき、その逆関数、
 
  arcsinh(x)= log(x+√(1+x^2)) ――――――――(5)
 
であることを証明しなさい。
 
 
解答例:
 
 sinh(x)の定義は上(4)の通りで、
その逆関数が arcsinh(x) らしいです。
 
よく分からないけど、読んだ限りでは、
直接三角関数とは結びついていない感じですが、
微分や加法定理などが混同して間違えそうなほど
三角関数と非常によく似ています。
それで sin という文字を含んだ関数表記にしたのかな
・・とも思いますが、詳しいことは知りません。
 
定義に、e が出て来てるから、自然対数の log も出てきそうだ
という気がしますが、「気がする」では数学にならないので、
(5)を証明することになります。
 
 
まず、逆関数とは・・というところから・・
 
   y=f(x) という関数があるとき、
 
x と y を入れ替えて、
 
   x=f(y) として、それを
 
   y=g(x) 
 
と表した g(x) を f(x)の逆関数という。
 
 
つまり、y=(e^x-e^(-x))/2 の x と y を入れ替えて
 
    x=(e^y-e^(-y))/2 として、――――――――――(6)
 
    y=arcsinh(x) と表したとき、 ――――――――――(7)
 
(5)が成り立つことを証明する問題です。
 
どうするんだ・・と思いましたが、結局、(6)より
 
  2x=e^y-e^(-y)=(e^y)-(1/(e^y)
 
( 両辺に(e^y)を掛けて )
 
  2x(e^y)=(e^y)^2-1 
 
  (e^y)^2-2x(e^y)-1=0 
 
(「x」は、掛け算ではなく、「x(エックス)」です。
 どうやら(e^y)についての 2次方程式になりそうです。
 ここでは実数で考えます。 ∴ e^y>0 解の公式より、)
 
  (e^y)=((2x)+√((2x)^2+4))/2
  =(2x+√(4x^2+4))/2=(2x+2√(x^2+1))/2
 
 つまり、 e^y = x+√(x^2+1) ということになり、
 
両辺の自然対数を取ると、
 
      y = log(x+√(x^2+1)) ―――――――――(8)
 
以上、(7)と(8)より、問題の(5)
 
  arcsinh(x)= log(x+√(1+x^2)) が証明された(と思う)。
 
 
記号について、sinh は、hyperbolic(双曲線の)sine (サイン、正弦)
という意味で、sin に h を加えて sinh と表し、
それに、「逆(関数)」の意味の arc を加えて、sinh の逆関数 arcsinh
という意味のようです。log で表すと長くなり、arcsinh という
新しい記号を使ったほうが表記も簡便で計算上も便利に使える
ということなのでしょう。実際、sinh だけでなく cosh、 tanh、などもあり、
演算がいろいろ載っていて興味深いけれど、
(複素変数で、sinh(x)=-isin(ix) なんてのも載っていて、
 そういえば定義がオイラーの公式からの sin の表記に似てる・・)
今は、そこまで考える気になれないので、この辺にしておきます。
 
 ちょっと聞いただけでも
 切りがない
 知らないことが多すぎる
 上を目指す気はないが
 上を向いても
 天を仰いでも
 下を向いても
 地上を眺めても
 
 
(2013年10月08日)
 
 
 
 

⊿(デルタ)を使う基本的な方法と、置換積分を使います。
 
 「2次関数曲線の長さ」
 
 
⊿θ を用いた極座標での曲線の長さを求める問題は
「頂点同士が追いかける正方形・関数」
http://blogs.yahoo.co.jp/st5402jp/11754908.html
「頂点同士が追いかける正n角形・関数」
http://blogs.yahoo.co.jp/st5402jp/11760700.html
http://note.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/n175514
に書いたが、
 
今回は、xy座標で、⊿x を用いる
という意味で基本的な問題として
 
めんどくさそうだが、できそうな問題なら、
できるところまで、やってみようということで・・
あまりきれいな結果は出なかったけれど、
2次関数は微分すると1次になるので、
高校レベルでの置換積分が使えると思いました。
 
 
 y = f(x)= ax^2+bx+c ―――――――(1)
 
 f’(x)=2ax+b ――――――――――――――(2)
 
図1)
イメージ 1
ここでも微小なxの増分を⊿x、yの増分を⊿yとし、
微小な曲線の長さを直角三角形の斜辺と見なして⊿Lとする。
 
⊿L^2=⊿x^2+⊿y^2
 
⊿L=√(⊿x^2+⊿y^2)
 
⊿L/⊿x=√(1+(⊿y/⊿x)^2)
   ↓
   ↓ ⊿x→0
   ↓
微分(dL/dx)=√(1+(dy/dx)^2)
 
 ∴ L=∫√(1+(dy/dx)^2)dx
    =∫√(1+f’(x)^2)dx   ――――――――(3)
 
2次関数では、(1)(2)(3)より、
 
  L=∫√(1+(2ax+b)^2)dx ―――――――――(4)
 
ここで、置換積分 2ax+b=t と置く。この両辺をtで微分して、
 
  2a (dx/dt)=1 
 
 ∴ (dx/dt)=1/(2a) ――――――――――(5)
 
ゆえに、(4)は、
 
  L=∫√(1+t^2)(dx/dt)dt だから、(5)より、
 
  L=(1/2a)∫√(1+t^2)dt ―――――――――(6)
 
次は、高校の参考書に載っていた置換積分、
 
 u=t+√(1+t^2) と置く。 ――――――――――(7)
 
 u-t=√(1+t^2) ―――――――――――――(8)
   (両辺2乗して)
 u^2-2ut+t^2=1+t^2
 ∴ u^2-2ut=1 
 2ut=u^2-1
 
  t=(u^2-1)/(2u)  ―――――――――――(9)
 
また、(8)(9)より、
 
 √(1+t^2)=u-t=u-(u^2-1)/(2u)
        =(2u^2-(u^2-1))/(2u)
 
 ゆえに、√(1+t^2)=(u^2+1)/(2u) ――――――(10)
 
また、(7)の両辺をuで微分して、
 
 1=(1+t/√(1+t^2))(dt/du)
  =((√(1+t^2)+t)/√(1+t^2))(dt/du)
                            ――――(11)
 
(11)に(7)(10)を代入して、
 
 1=(u/((u^2+1)/(2u)))(dt/du)
 
ゆえに、微分(dt/du)=(u^2+1)/(2u^2) ――――(12)
 
(6)、(10)、(12)より、
 
 L=(1/2a)∫√(1+t^2)dt
=(1/2a)∫√(1+t^2)(dt/du)du
=(1/2a)∫(((u^2+1)/(2u))(u^2+1)/(2u^2))du
=(1/2a)∫((u^2+1)^2/4u^3)du
=(1/2a)∫((u^4+2u^2+1)/4u^3 )du
=(1/2a)∫( u/4 + 1/2u + 1/4u^3 )du
=(1/2a)(u^2/8 + (log u)/2 -(1/(8u^2))+C
                     (Cは、積分定数)
=(1/2a)(u^2/8 -(1/(8u^2) + (log u)/2)+C
=(1/16a)( u^2 -1/u^2 + 4 log u )+C
 
  ( 置換された変数を戻してゆくと、
 
   u^2-1/u^2
   = (t+√(1+t^2))^2 - 1/(t+√(1+t^2))^2
   = (t+√(1+t^2))^2
         - (t-√(1+t^2))^2/(t+√(1+t^2))^2 (t-√(1+t^2))^2
       = (t+√(1+t^2))^2 - (t-√(1+t^2))^2/((t^2-(√(1+t^2))^2)^2
   = (t+√(1+t^2))^2 - (t-√(1+t^2))^2/(t^2-(1+t^2))^2
   = (t+√(1+t^2))^2 - (t-√(1+t^2))^2/(-1)^2
   = (t+√(1+t^2))^2 - (t-√(1+t^2))^2
   = 4t√(1+t^2)  となるので、 )
 
= (1/16a)(4t√(1+t^2) + 4 log u )+C
= (1/4a)( t √(1+t^2) + log u )+C 
 
(7)より、log u = log(t+√(1+t^2) も戻して、
 
L=(1/4a)( t √(1+t^2) + log( t+√(1+t^2 ))) + C
                            ―――――――――(13)  
という不定積分を得る。なお、t=2ax+b  ――――――――――――――(13)
 
 ( これは一般的に、
   ∫√(1+t^2)dt = (1/2)( t √(1+t^2) + log(t+√(1+t^2 ))) + C 
    という不定積分を使ったことを意味しています。 )
 
 
(13)を用いて、
 y=x^2 の、x=0から1までの長さを求めてみます。
図2)
イメージ 2
ax^2+bx+c の、a=1,b=c=0,だから
x=0のとき、t = 2ax+b = 2x =0
x=1のとき、t = 2x = 2 なので、
 
L=L(1)-L(0)= L(1)
    ( L(0) = 0 )
 =(1/4)( 2√5 + log(2+√5)
 =√5/2 + log(2+√5)/4
   ( log は、微積分なので自然対数 )
 ≒(2.236)/2 + log(4.236)/4
   (関数電卓を用いて計算すると)
 ≒1.118 + 0.361
  ≒ 1.479 
 
直線距離が、√2≒1.414 だから
もう少し長そうな気もしますが・・・
勘違いか計算間違いをしているかもしれません。
よかったらアドバイスくださいませ。
 
それにしても微小な増分⊿θや⊿x においては、
前の扇形の重心のときは二等辺三角形と、
今回は直角三角形と見なす、など、
なんだか⊿の記号の形のように三角形が基本のような気がしました。
 
 
(2013年10月07日、同日一部修正)
 
 
 
 

 
(昔聞いた歌や読んだ詩に惹かれながら
 いじってみたくなることがありまして・・後述 ※ 参照)
 
 
柔肌の 熱き血潮に 触れまくり 道を知らずや 帯を解く君
 
 
静かさや? 耳にしみいる 蝉の声
 
 
 私の学生時代
 
ツタの絡まる校舎で
おんなじように絡まっていた
夢多かりしあの頃の
思い出をたどれば
なつかしい友の顔や
あんまりなつかしくない顔が浮かぶ
重い鞄を抱えて通ったあの道
夏の日の図書館のノートとインクとよだれ
過ぎし日よ私の学生時代
 
賛美歌を歌いながら
ひどい死を夢見た
何の装いもせずに
それこそ、スッポンポンで
胸の内に秘めていた恋へのあこがれは
いつもはかなく破れて
ひとり書いた絵日記
本棚に目をやれば
あのころ借りたレコード
すばらしい私の学生時代
 
 
 同期の枯れすすき
 
貴様と俺とは枯れすすき
同じ河原の枯れすすき
どうせ俺たちゃこの世では
花の咲かない枯れすすき
 
お前もおいらも枯れすすき
同じ褥(しとね)に伏せて泣く
泣くな花嫁まだ夜(世)は長い
語り明かそう夜明けまで
 
この盃を受けてくれ
どうかなみなみと注(つ)がせてくれ
思い起こせど帰らぬ日々に
さよならだけが人生だ
 
飲めや歌えや枯れすすき
明日(あす)をも知れぬ枯れすすき
酒や遊びや、ああ恋の歌
語り継ぎましょ国のため
 
 
 公園に来て
 (知らない人多いだろな・・)
 
わずかばかりの緑にも
陽だまりと日陰とがある
公園に来て俺たちは
公園を独り占めしてる
遠くないところで
いつだってお巡りさんが見ている
 
真似のできないお喋りして
にぎやかに娘たちが行く
公園に来てその先に
幸せが待ってるように
寒々とその道を帰ったおいらには気づかない
 
言ってはならない真実をくわえ
見慣れぬ小鳥が飛んでゆく
 
朝の講義にあぶれた
落ちこぼれの学生がいる
公園に来て昼休み
背広着た勤め人五人
憐れみと軽蔑
そしてまたうらやむ目で
見てるもんか
 
ぬるい日差し受けてる
ベンチに男と女
公園に来て一日中
悪い夢なめ続けている
噛み砕いてみたくはないのかと
いたずら小僧め
 
言ってはならない真実をくわえ
見慣れぬ小鳥が飛んでゆく
 
 
 おまけ
 (替え歌というより
  終わりだけH氏の詩のパクリ)
 
青い青いお月様が
悲しい顔して見てるのは
昔の夢を肴(さかな)に
酒酌み交わす男たち
 
青い青いお月様が
悲しい顔して見てるのは
昔の恋を責めては
話尽きない女たち
 
青い青いお月様が
泣くよな顔して見てるのは
月夜に死んだ子供の
思い出遊ぶ遊園地
 
月夜の晩の屋根の上
あいさつ交わし猫が鳴く
お元気ですか あなたも
この家の主人は病気です
 
 
※ ちょっとまずいな・・と思ったので・・
最初の2つについて元歌を書いておきます。
漢字と仮名遣いは不正確ですが・・
 
柔肌の 熱き血潮に 触れもせで(みで?) 寂しからずや 道を説く君
 
静かさや 岩にしみいる 蝉の声
 
(上が与謝野晶子、下が松尾芭蕉だったと思います。)
 
上については、与謝野晶子にも与謝野鉄幹にも恨みはなく、さらに
与謝野晶子の「君死に給うことなかれ」には、その詩と勇気に感動します。
もじりは、与謝野鉄幹が Hな人だったということを意味しません。
もじり以上の何の意図もありません。どういう人だったのか、私は殆ど知りません。
ただ「人が人に道を説く」ということについて私はかなり疑問を持っているので、
その分、ふざけた書き方になっていることを認めます。もじりなのです。
 
下は、私が耳鳴りをずっと持っているためでしょう。
その私の耳鳴りが蝉の声に似ていることもあって、
句を読んだときに、これは静かなのか、という疑問を抱きました。
 
もじりに影響されることなく、覚えるなら、
どうか元歌を覚えてくださいませ。
 
 
(2013年10月04日、投稿。作成は昔から)
(2013年10月05日、元歌など加筆)
 
 
 
 

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