ウソの国:st5402jpのblog

キリスト信仰、カルト批判、詩のようなもの、思想・理念、数学・図形、などを書いています。

カテゴリ: 数学・算数・図形

 
  倍数判定の基本から
 
 
7の倍数判定については、
一の位から、桁の数値に、
1,3,2、-1、-3、-2、を掛けてゆく方法を
下記に示した。この6つの掛ける数は、循環する。
http://blogs.yahoo.co.jp/st5402jp/18488369.html
比較的に覚えやすいので、まあ、使えるかと思う。
 
今回は、私が考えたことではなくて、ネットから学んだことですが、
もっと一般的な考え方があるようです。結構、私としては
興味深かったので、分かった範囲で記しておきます。
 

(n+1)桁の整数Aは、AnAn-1・・・A3A2A1A0、
  =An×10^n+An-1×10^(n-1)+
    ・・・+A3×10^3+A2×10^2+A1×10+A0
  =Σ(An×10^n)  と表される。
 
私の方法と違って、
もっと一般的に、一桁ずつの余りを足してゆく方法である。
 
そこでは、まず位を表す10のn乗、つまり、10^nを
1,10,100,1000、・・
つまり、10^0,10^1,10^2,10^3、・・を
それぞれ7で割った余りを求める。
 
そこで例えば、1000を7で割った余りは、
100を7で割った余りに、10を7で割った余りを掛ければよい
と言うようなやり方で余りを求めてゆく。
 
10^(k-1)=7M+a、10=7+3、とすると、
これらを掛けて、10^k
   =10^(k-1)×10=(7M+a)(7+3)
   =7^2×M+3×7M+7×a+3a
   =7の倍数+3a、となり、余りは、3a、から求められる。
つまり、10^kを7で割った余りは
 10^(k-1)を割った余り×10を割った余り3
  =3a、で求められることが分かる。このことを使って、
 
1は、7×0+1として、余りは、1
10は、7+3として、余りは、3
100は、10で割った余りを2回かけて、3×3=9=7+2、余りは、2
1000は、
 100で割った余り×10を割った余り=3×2=6=7-1、余りは、―1
10^4は、
 1000を割った余り×10を割った余り=(-1)×3=-3、余りは、-3
10^5は、
 10^4を割った余り×10を割った余り
  =(-3)×3=-9=-7-2、余りは、-2
10^6は、
 10^5を割った余り×10を割った余り
  =(-2)×3=-6=-7+1、余りは、1
10^7は、
 10^6を割った余り×10を割った余り=1×3=3、余りは、3、となり
 
余りが、1、となった時点で、そこからは、
計算過程が同じなので、1,3,2、-1、-3、-2、を繰り返す
ということが分かる。
 
ゆえに
 整数A=Σ(An×10^n)
  =Σ(An×((7で割った商)+(7で割った余り)))
  =Σ(An×(7Kn+それぞれの桁の余り)) となるので、
 =Σ(An×7Kn(7の倍数部分))+Σ(An×余り(倍数判定部分))
7の倍数部分を除いて、
倍数判定部分である「Σ桁の数An×余り」だけを下1桁から表すと、
 A0×1+A1×3+A2×2+A3×(-1)+A4×(-3)+A5×(-2)+・・
となって、このように、
 1,3,2、-1、-3、-2、を循環して、
 一桁ずつに掛けて、それらを足して、判定することが出来る。
 
この方法だと、7の場合に限らず、
上と同様の手順で、倍数判定をすることが出来そうです。 
ネットでは、13で割ったときの判定法が載っている。

結果を言うと、13の倍数判定は、1,-3、-4、-1,3,4,1、・・となる。
1、が出たら、繰り返すので、1、-3、-4、-1,3,4、を繰り返すことになる。
少し紛らわしいが、覚えられないわけではないだろう。
循環する桁数が多くなるし、手間はかかるようになるが、
倍数判定法の基本原理として、より一般的と言えるだろう。
 
 
(2016年05月28
日)
(2016年05月29日、一部修正)
(2016年05月30日、一部修正)

 
  7の倍数判定法(2)
 
 
7の倍数判定については、前に記事に書きました。
 
http://blogs.yahoo.co.jp/st5402jp/7237614.html
そこにこの記事部分も追加して書いたのですが、ずいぶん前のことなので、
改めて、今回、1桁ずつ掛けて足す方法について記事にします。
桁ごとに、簡単な整数を掛けて、足して、判定する方法です。
 
 7の倍数部分を略して略して
 7の倍数判定部分を小さくしていきます。
  (「^」は、べき乗を表します。3^2=3の2乗=9)
 
整数A=An・・・A5A4A3A2A1A0 ((n+1)桁の整数の十進法表記)
 =An×10^n+・・・+A3×10^3+A2×10^2+A1×10^1+A0
 =ΣAn10^n=ΣAn(7+3)^n
    2項定理の展開式より、
 =7K1+Σ(An・3^n)
    n=6m+p とおくと、pは、6で割った余り
    ゆえに、pは、0、1、2、3、4、5、で、
    Anの、桁nによって変わる。pに置き換えると、
 =7K1+Σ(An・3^(6m+p))
 =7K1+Σ(An・3^6m・3^p)
 =7k+Σ(An・(3^6)^m・3^p)
    3^6=729=728+1=7×104+1 だから
 =7K1+Σ(An・(7×104+1)^m・3^p)
    再び、2項定理の展開式より、
 =7K1+Σ(An・(7K2+1)・3^p)
 =7K1+Σ(An・7K2・3^p)+Σ(An・3^p)
 =7K3+Σ(An・3^p)
ここで、pは、nによって異なるので、当てはめると
整数Aの7の倍数判定部分、Σ(An・3^p) は、
 n=6m   のとき p=0 3^0=1 桁の数に、1を掛ける
 n=6m+1 のとき p=1 3^1=3 桁の数に、3を掛ける
 n=6m+2 のとき p=2 3^2=9
                 =7+2 桁の数に、2を掛ける
 n=6m+3 のとき p=3 3^3=27
                 =28-1=7×4-1
                      桁の数に、-1を掛ける
 n=6m+4 のとき p=4 3^4=81
                 =84-3=7×12-3
                      桁の数に、-3を掛ける
 n=6m+5 のとき p=5 3^5=243=245-2=7×35-2
                      桁の数に、-2を掛ける
 あとは、p:0~5の場合を循環する。
つまり、1,3,2、-1、-3、-2、を循環する。これを
それぞれ、A0、A1、A2、A3、A4、A5、・・・、に掛けて、足したものが
整数Aの、7の倍数判定部分である。
 
例えば、整数Aの7の倍数判定部分、Σ(An・3^p)を考えると、
下一桁目A0 の整数Aの7の倍数判定部分は、
 A0×3^0=A0、
 つまり掛ける数は、1
下二桁目A1 の整数Aの7の倍数判定部分は、
 A1×3^1=A1×3=3×A1、
 つまり掛ける数は、3
下三桁目A2 の整数Aの7の倍数判定部分は、
 A2×3^2=A2×9=A2(7+2)=7×A2+2×A2、
 掛ける数は、7の倍数を除いて、2
下四桁目A3 の整数Aの7の倍数判定部分は、
 A3×3^3=A3×27=A3(28-1)=7×4×A3-A3、
 掛ける数は、7の倍数を除いて、-1
下五桁目A4 の整数Aの7の倍数判定部分は、
 A4×3^4=A4×81=A4(84-3)=7×12×A4-3×A4
 掛ける数は、7の倍数を除いて、-3
下六桁目A5 の整数Aの7の倍数判定部分は、
 A5×3^5=A5×243=A5(245-2)=7×35×A5-2×A5
 掛ける数は、7の倍数を除いて、-2
 
整数Aの7の倍数判定部分は、上の6つの式の7の倍数部分を除いて、
掛けて、足して、
  A0+3A1+2A2-A3-3A4-2A5+・・・ と6桁ごとに循環する。
 
以上、我流・回り道の解答例でした。失礼。
 
 
下から3桁ずつに区切って奇数区と偶数区の差で判定する方法や
ABCについて、AB-2C、で判定する方法については
前に書いた
http://blogs.yahoo.co.jp/st5402jp/7237614.html
を参照してください。
 
 
(2016年05月22日)
 
 
 
 

数日、体調も悪く、書く気にもなれず、今日も趣味の算数~数学です
 
 
  循環小数を分数に(等比級数を使わずに)
     (分数と小数の計算・・小学校レベル?)
 
 
まず高校で習う等比級数を使う場合、
 0.ABCABCABC・・・は
 初項 0.ABC、公比 0.001、の等比級数だから
 公式より、初項/(1-公比)=(0.ABC/0.999)
  =ABC/999  ―――――――――――――――――――――(0)
 
 循環する数を分子に置き、分母にその桁数だけ9を並べればよい
 ということになります。
 しかし等比級数を使わないで求めるのも難しくはありません
 ・・ということで・・簡単なことだから
 小~中学生は既に習っているのかもしれませんが、
 
 
問題: 0.123123123・・
 という、123を繰り返す循環小数を
 (等比級数を使わずに)分数にするには?
 
解答例:
まず基本的な計算として
(1÷9=0.111・・・
  ここから両辺に一桁の整数をかけて、8÷9=0.888・・・、
  9÷9=0.999・・=1、までが分かります。
 1÷99=0.010101・・・、
  ここから、同様にして、9÷99=0.090909・・・、
  までが分かります。ここはこの問題では参考まで・・)
 
 1÷999=0.001001001・・・、 ――――――――――(1)
  ここから、同様にして、9÷999=0.009009009・・、
  までが分かります。 
 
 この計算には規則性があるので
 循環する桁数が何桁になっても、やり方は分かると思います。
 
 0.123123123・・・
=123×(0.001001001・・・)
(1)を代入して
=123×(1/999)=123/999  --(答え)
 
 
桁数が多いときは(1)の代わりに
 1÷(循環する桁数だけ9を並べた数)
 =0.00・・01 00・・01 00・・01・・・
 という循環小数を用いる。(00・・01が、循環する桁数になる)
 
恥ずかしながら、今まで循環小数は
等比級数を使わないと求められないと思っていました。
なんのことはない・・(0)の答えを見て
ちょっと考えれば、とても簡単だったんですね・・(苦笑、汗、失礼)
 
 
(2015年08月01日)
 
 
 
 

間違っているかもしれないが、高校のときに気になっていたこと・・
 
  0.999・・・=1 ?
 
 
ふつうは次のように理解する。
 
実際に計算して
 1÷3=0.333・・・
 左辺×3=1÷3×3=1
 右辺×3=(0.333・・・)×3
     =0.999・・・
 ∴ 1=0.999・・・
 
0.999・・・は、9が無限に続く数として
つまり無限循環小数として理解されているが、
 
0.999・・・というのを
はたして数として理解してよいのか・・。
 
数式で考えると、他の無限循環小数についても同様だが、
0.999・・・は、
初項0.9、公比0.1の
等比数列の無限和である。
その値をSとすると、
 
S=(0.9)+(0.9)×(0.1)+(0.9)×(0.1)^2
  +・・・(0.9)×(0.1)^(n-1)+・・・  ―――――(1)
 
これは
 lim(n→∞)Σ(nまで)(0.9)×(0.1)^(k-1)――(2)
として公式 S=(1-公比)/初項 より
       =(1-0.1)/(0.9)
       =(0.9)/(0.9)=1
 と求められている。
 
(2)の lim は、0.999・・・が
何に近づくかという極限値、
言い換えると近づく目標の数値を表している。
 
求めるべき(1)は、0.999・・・そのものがいくつか
という数値である。
 
目標の数値に限りなく近づくが
目標の数値そのものではない・・という感覚・・
 
さらに、無限を数えた人はいない、無限は数えられない、
という問題があり、つまり、
 
無限および無限大は数ではなく概念である。
何故なら ∞+∞=∞ などのように成立せず、
無限は数のように計算することが出来ない、
数に成り立つべき演算法則が成り立たない
というのがあると思う。
 
したがって、0.999・・・としか表せない数値には
 
「限りなく近いは等しいに等しい」
という合意があるとしか言えない。
ゆえに、0.999・・・=1 と表記されるのだろう。
 
これは概念上の合意であり直観的公理?かもしれないが、
その根拠は、
1. 限りなく1に近づくから。
2. 1以外の数値には決して近づかないから。
3. 0.999・・・と 1 の差があったとしても
  0.999・・・=1 とした場合の
  いかなる演算においても
  その誤差は常に無限小
  という幾らでも小さくなる差であるから。
といったところか・・
 
私は哲学を知らないのだが、あえて言うなら、
 
数と記号と図形で最も厳密な演繹論理を持っている数学も
他の言論つまり言葉で表す論理においても
 
概念においては哲学の深淵をしばしば覗いている。
 
それが公理とか直観的把握~理解というものなのだろう。
 
 
(2015年07月10日、同日一部修正)
 
 
 
 

またですが、ネットで見つけた中学校図形の問題です。
 
台形の面積
問題:下図の台形ABCDの面積は?
 
 
イメージ 1
解答例:
 
角度などを示すと下図のようになります。
 
 
イメージ 2
ここで、高校数学なら、△ABD=4×4tan15÷2 として
倍角定理から tan15=(√6-√2)/(√6+√2)=2-√3 と求めて
△ABD=8(2-√3)、 △ABC=4×4√3÷2=8√3
両者を足して 求める面積=16 と出ます。
 台形の面積の公式 (上底×下底)×高さ÷2 でも 
 ( (4(2-√3)+4√3)×4÷2=16 と同様です。
√が消えました。これlは、√を使わずに解きなさい・・という意味だろう・・
というわけで、考えていくと、補助線を引くことで解けたということです。
それが記事にした理由です。・・さすがに中学校の先生は賢いと思いました。
 
イメージ 3
以上です・・
 
 
(2015年03月14日、同日一部修正)
他の人がゲームをするように私もゲームはするのですが
ゲームは下手なので、せいぜい、上海、オセロ、ぐらいです。
私はその感覚で意外な解き方で比較的簡単に解けるような
中学校の図形の良問を検索することがあります。
好みの分かれるところでした・・失礼。
 
 
 
 

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