ウソの国-詩と宗教:st5402jp

キリスト信仰、カルト批判、詩のようなもの、思想・理念、数学・図形、などを書いています。

タグ:その他自然科学

息抜き・・ネットで見つけた中学校の図形の問題です。
平方根を使わずに解いてみましょう。
 
問題1
下図の桃色の部分の四角形ABEDの面積を求めなさい。
AB=a、 BC=b  ( 記号が嫌なら、AB=5、 BC=9、でもいいです )
なお、△DEC は 正三角形です。
また E から始まる3つの角度はいずれも60°です。
 
イメージ 1
 
問題2
下図の半円と台形において、 BCの長さを求めなさい。 
 
イメージ 2
 
解答例 1
 
まず、△AED は、二等辺三角形とは限りません。
右図のように AD は、様々ですから。
 
イメージ 3
 
 解いてみると簡単という
いつもの感じです・・下図の通り・・
 
イメージ 4
(上の図の四角形CABEは△CABとなります。)
 
   
解答例 2
 
直角三角形の辺の比と、相似を用います。
 
 
イメージ 5
 
いずれも最初、私は、
直角三角形の辺の比から
三平方の定理などを計算して求めました。
それでも答えは出るのですが、
出てきた答えに平方根記号「√」が出てこない・・ということで
こういう場合、前にもあったけど、
最初から √ を使わずに求められないかを考えてみた
・・というわけです。息抜き、・・失礼・・
 
 
 
 

数学サイト
http://blog.livedoor.jp/mazra627/
から
「たけしのコマ大数学科」第162回
 
問題1: 覆面算です。
 
 AB+BA+B=AAB これは脳トレになるでしょう。
 
      AB
      BA
   +   B
 ―――――――
     AAB
 
繰り上がって Bになるので A+B=10
2桁目は繰り上がった1を足して、
A+B+1=10A+A → B=10A-1
ゆえに A+10A-1=10 → 11A=11
 → A=1 、 ゆえに B=9 
 
(なお、これを n進法一般解として解くと、
 同じようなことですが A+B=n 
 また、A+B+1=nA+A → B=nA-1
 ゆえに A+nA-1=n → (n+1)A=n+1
 → A=1 、 ゆえに B=n-1 となります。
 つまり解は、
 n進法の n ひとつについて 1通り、
 全体では無数にあることになります。  )
 
(2014年10月06日)
 
 
問題2: 覆面算ですが、上と少し変えて
 
 AB+BA+A=AAB
 
となるとどうでしよう。
 
     AB
     BA
   +  A
 ――――――
    AAB  
 
同じように解いてゆくと
B+A+Aの下一桁がBになるから
A+Aが10 → A=5 
2桁目は、繰り上がった1を足して
A+B+1=10A+A 
→ B=10A-1=49 これは明らかに間違い。
つまり
十進法に解はない・・ということになります。
 
 
これでは面白くないので n進法一般解を求めてみます。
n=何?進法かに解があるだろうか・・ n は、2以上です。
 
似たようなことを書きますが、
A+A=n つまり A=n/2 
Aが整数なので、 n は 偶数になります。
2桁目は、A+B+1=nA+A 
 → B+1=n×n/2 
 → B=n^2/2-1 
 
ここで、n進法一桁の数 B は、0 から (n-1) までです。
 ( 例えば、十進法では、0から9まで )
ここでは題意より2桁の数 BA があるので、0 は除外して、
Bは、1から (n-1) までになり、
 
 1 ≦ B=n^2/2-1 ≦ n-1 
 
ゆえに n については、  n^2/2 ≦ n 
 
→ n/2≦1 → n≦2 
 
また、n進法の n は、2以上、つまり、n≧2 ですから結局、
 
n=2 以外にはありません。
ゆえに
 A=1、 B=4/2-1=1  (2進数)
        のみが解ということになります。
 
 
問題1では、n進法一般解は無数にありましたが、
似たような問題2では、十進法では解はなく、
 n進法一般解も1つしかないということになります。
 
 
(2014年10月13日、過去記事再編集、同日若干修正)
外は台風の風雨が激しくなってきました・・脳天気・・
(2014年10月18日、若干修正)
 
 
 
 

前にもブログに書いたことがあるけれど・・改めてメモ的に・・
 
クリスマスの飾りなどで
よく知られている星形五角形ですが
一般に星形N角形を描こうとすると
一工夫を考える糧にはなるようです
 
 
  星形N角形
 
 
まず誰でも知っている星形5角形と、
星形10角形を描いてみます。
 
どちらも一筆書きで同じ方向への折れ線の連なりとして描けますが、
星形10角形となると、やはり円と頂点を定めてから
描いたほうが分かりやすいように思います。
図1)
イメージ 1
 
一般に星形N角形を描く考え方としては
星形正N角形というわけではないので厳密ではなく
見やすいように適当に円周上にN個の頂点を定めて
1つの直線が幾つの頂点を飛ばすかをm個とすると
図2)
イメージ 2

1つの直線が跨いでショートカットする辺の数は
(m+1)となります。
 
N/(m+1) は
1回転で出来る星形の頂点の数ということになります。
 
そして当然ながら
 (N/(m+1))×(m+1)=N となり、
 
これは、(m+1)回転で頂点数はNとなり
直線は始点に戻って星形N角形が完成することを意味しています。
 
つまり星形N角形を描くための
回転数R = m+1 となります。
 
上図のように 
内角+外角(折れる角度)=180°
また、1回転が360°なので
星形N角形の内角の和は
 
頂点数×180 - 回転数×360
 
= 180N-360R = 180N - 360(m+1)
 
というか、以上のような描き方で、
N と m が定まれば内角の和が一定になるような
星の形の多角形を星形N角形と呼んでいるようです。
 
 
さて頂点数Nと飛ばす点の数mを定めれば
星形N角形が描けるかと言えばそうでもなくて
回転数R=m+1よりも少ない回転数で始点に戻ってしまうと
頂点数がNにならず、星形N角形は描けません。
 
上に書いた N/(m+1) の分子と分母
つまり
 N と R=m+1 が互いに素(共通の約数を持たない)
ということが条件になります。
 
また、m、さらに(m+1)については
円周の半分以上になると逆向きに同じ形を描くだけになるので
(m+1)は、Nの半分未満でいいようです。
 
Nが偶数のときには、m+1 = N/2 -1 
Nが奇数のときには、m+1 = (N-1)/2 
ということになり、
これを1つの数式で表すとガウスの整数記号を用いて
 
 m+1 = { (N-1)/2 } 
 
ゆえに、 m = { (N-1)/2 } ー 1
 
と表すことが出来るようです。
ここで、ガウスの記号、例えば {?} とは、
 ? を越えない整数という意味です。
 
mと書いてきましたが、正確にはmの候補と言うべきでしょう。
 
飛ばす点の数については、1,2,・・、m 、ゆえに、
跨ぐ辺の数については、2,3、・・、(m+1)
これらのうち、Nと互いに素である整数が 
(m+1)と定められることになります。
これは言い換えると、Nが大きく、
かつ素数のときに最も多くの複数の星形が描けるということになりそうです。
 
 
最初に書いた星形10角形の場合、
{(10-1)/2}={4.5}=4 なので、2,3,4のうち
2 と 4 はN=10と、2 という約数を持つので互いに素ではない。
ゆえに (m+1)=3 つまり m=2 のみが正解ということになり
図のような1通りの星形しか書けません。
 
 
素数ではありませんが、星形9角形を描いてみたいと思います。
{(9-1)/2}=4
9 と、2,3,4、のうち、3 は除かれるので、
(m+1)は、2と4、即ち 
飛ばす点の数 m は、1と3として2つの星形が描けます。
図3)
イメージ 3

(2014年09月13日)
・・Nが大きくなると星形というイメージからは遠くなります・・(苦笑・・)
 
 
 
 

 
計算していて無理数が出てくるのに 
答えは無理数が出ないシンプルな数。
そういう面積の問題はひょっとして 
小学校の図形の問題になるのでは? 
とか考えて書いてみたのですが・・ 
 
 
  無理数を使わずに面積を
 
 
できるだけ無理数を使わずに答えを求めてください。
つまり、30°、60°、90°の直角三角形の
斜辺:短辺=2:1 は使いますが、
長辺の√3は使わないようにします。
 
問題1:下図のように一辺の長さ1の正方形を
直角を三等分した直線で分割したときに
△AEFの面積を求めなさい。
 
イメージ 1
 
問題2:下図のような
角度と長さを持つ四角形ABCEの面積を求めなさい。
 
イメージ 2

  
解答例1:
(√3を使って解けますが・・使わずに・・)
問題をもう一度図示します
 
イメージ 6

下図のようにABとADの延長線上に
AG=AE=AF=AHとなるように補助線を引きます。
 
イメージ 3

 
△AGE≡△AEF≡△AFH となり
△AEFは、五角形AGEFHの3分の1になります。 ―――(1)
 
正方形からはみ出した赤の三角形2つを合わせると
挟角30°の二等辺三角形になります。
 
イメージ 4

 
底辺はEFと同じ長さになり
高さはEFの半分になります。 ―――(2)
 
青の△CEFは直角二等辺三角形になり
下図のように底辺はEFになり
高さはEFの半分になります。 ―――(3)
 
イメージ 5
 
(2)と(3)より、底辺と高さが等しいので、
赤の三角形と青の三角形は同じ面積になります。 ―――(4)
 
(1)~(4)より
五角形AGEFHは、正方形からはみ出る部分と
正方形に足らない部分との面積が等しいので
五角形AGEFHの面積は 正方形の面積=1 に等しい。
 
ゆえに △AEF=五角形AGEFH/3= 1/3 ―――(答)
 
 
解答例2:
 
イメージ 7

 
これは勘のいい小学生ならすぐに答えは
ひらめくかもしれません。
つまり、問題の四角形は、下図のように
 
イメージ 8

 
2つの三角形、直角二等辺三角形と二等辺三角形を
張り合わせて出来たものです。
 
その面積は、2+1=3 ―――――――――(答)
となります。
 
数学的説明としては
図6の2つの三角形を合わせると問題の四角形になる。
問題の四角形の形は一通りしかないので
逆にACで分割した場合も
図6の2つの三角形にしかならない。
(合同条件を満たすから同値ということ・・)
 
※ 参考までに無理数も含めて計算で解くなら
・・もっと簡単な方法があるかもしれませんが・・
下図のように
 
イメージ 9

対角線BDを引いて二等辺三角形の
△CBDの面積を求めて(=√3) ―――(5)
さらに補助線を引いて
直角二等辺三角形の△EBD(=3)から
辺の比が1:√3の直角三角形の
△ABE(=√3)を引いて 3-√3 ―――(6)
(5)+(6)で、3 ということになります。 ―――(答)
 
 
(2014年05月22日)
 
 
 
 

数学の記事は久しぶりです・・殆ど復習ですが・・
 
  足し算と平方数の三角形
    ・・・恒等式と方程式
 
「タルタリアの三角形(足し算の三角形)」
http://blogs.yahoo.co.jp/st5402jp/10031841.html
http://note.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/n201091
「平方数の三角形」
http://blogs.yahoo.co.jp/st5402jp/10102698.html
http://note.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/n201095
について前に記事にしましたが
 
 
そのときは左端の整数を帰納して n で表し、
その n について 左辺=右辺 となり
 n についての恒等式となることをもって証明とした。
 
そのあと考えてみたのだが
左端の整数を帰納しなくても
それをNとおいて
Nを未知数、nを定数として
任意の n 段目の整数方程式を立てて
解として Nを n の式で表せるなら
 n の任意性から演繹的に
恒等式となることの証明になりそうである。
少し計算が楽になりそうなので載せることにしました。
 
 
1.タルタリアの足し算の三角形について
 
1段目             1+2=3            (=3)
 
2段目           4+5+6=7+8          (=15)
 
3段目      9+10+11+12=13+14+15     (=42)
 
4段目  16+17+18+19+20=21+22+23+24  (=90)
 
             ・・・・・・
 
(n段目  N+(N+1)+・・?  (Nをnで表す)    )
 
           ・・と下ほど式が長くなり三角形のように
                 無限に続く・・・
 
 n 段目の 左端の整数をNとすると
左辺の項数は(n+1)、右辺の項数は n なので
 n 段目については次のような方程式となる。
 
N+(N+1)+(N+2)+・・+(N+n)
   =(N+n+1)+(N+n+2)+・・+(N+n+n) ――(1)
これは
N,nの個数を考えて
整理すると
 
(n+1)N+(1+2+・・+n)
   =n×N+n×n+(1+2+・・+n) となり
 
(1+2+・・+n) は消えて
 
 N=n^2 となる。 ―――――――――――――(2)
      (n^2は、nの2乗の意味)
 
Nの方程式(1)を解いた答えが(2)ということは
(2)を(1)に代入すると
 n の任意性から
任意の正の整数 n について成立する恒等式となることを意味する。
つまり(1)と(2)によって
タルタリアの足し算の三角形が無限に成り立つことの証明となるだろう。
 
 
2.平方数の三角形について
 
1段目              3^2 + 4^2 = 5^2                        (=25)
 
2段目        10^2 + 11^2 + 12^2 = 13^2 + 14^2               (=365)
 
3段目    21^2 + 22^2 + 23^2 + 24^2 = 25^2 + 26^2 + 27^2       (=2030)
 
4段目 36^2 +37^2 +38^2 +39^2 +40^2 = 41^2 +42^2 +43^2 +44^2   (=7230)
 
             ・・・・・・
 
(n段目 N^2+(N+1)^2 ・・?   (Nをnで表す)   )
 
      ・・・のように三角形に広がって
        無限に続いてゆくかどうかを考える・・・
 
 1.と同様にして n 段目について
平方数だから左端の整数を N^2 とすると方程式は
 
N^2+(N+1)^2+(N+2)^2+・・+(N+n)^2= 
(N+n+1)^2+(N+n+2)^2+・・+(N+n+n)^2 ―――(3)
 
一般に (N+k)^2=N^2+2kN+k^2
であることより係数を考え、同様に整理してゆくと
 
左辺は
(n+1)N^2+(2N+2×2N+・・+2×nN)
 +(1^2+2^2+・・+n^2) となるので
 
(n+1)N^2+2(1+2+・・+n)N+(1^2+2^2+・・+n^2)
=n×N^2+2((n+1)+(n+2)+・・+(n+n))N
 +(n+1)^2+(n+2)^2+・・+(n+n)^2 
 
N^2は左辺の1個が残るだけで
さらにNの付かない右辺の定数項を整理すると
 
N^2+2(1+2+・・+n)N+(1^2+2^2+・・+n^2)
=2(n×n+(1+2+・・n))N
 +n×n^2+2(1+2+・・+n)×n
 +(1^2+2^2+・・+n^2)
 
(1^2+2^2+・・+n^2) が消えます。
 
N^2+2(1+2+・・+n)N
=2n^2×N+2(1+2+・・+n)N
 +n^3+2(1+2+・・+n)×n
 
2(1+2+・・+n)N が消えます。
 
N^2=2n^2×N+n^3+2(1+2+・・+n)×n
 
1+2+・・+n=n(n+1)/2 なので
 
N^2=2n^2×N+n^3+n(n+1)n
 
右辺を左辺に移すと
 
 N^2-2n^2N-n^2(n+(n+1))=0
 
 N^2-2n^2N-n^2(2n+1)=0 ――――――――――(4)
  という方程式になります。
 
足して -2n^2、 掛けて -n^2(2n+1)=-2n^3-n^2
となる2数は、n と、-2n^2-n ということで因数分解すると
 
 (N+n)(N-2n^2-n)=0 
 
n と N は、正の整数だから、
 
  N=2n^2+n=n(2n+1)  ―――――――――――(5)
 
以上より
正の整数 (5) を代入した(3)は
任意の正の整数 n についての恒等式である。
つまり任意の n 段目において成立するので
平方数の三角形は無限に成立すると言えるだろう。
 
Nとnの式をN=?に書き換える作業でもあり
nで表されたNが左端の数ということになります・・
 
 
(※ 立方数については、まず1段目が成り立たないそうです。)
 
 
(2014年04月28日)
 
 
 
 

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