これは証明も不十分で、興味があって考えてみたけど、
順序が逆のような気もするし、自信もないのですが、・・・
問題：
１．半円の重心
２．（１／４）円の重心
解答例：
回転体の体積についての
「・・・（忘れた）？の定理」を用いる。
回転する平面図形の面積をＳ、
その重心と回転軸の距離をｐとすると、
重心の軌跡となる円周は、２πｐ
そして回転体の体積は、Ｓ×２πｐ ―――――――――（１）
また回転する平面図形に対称軸がある場合、
重心は対称軸の線上にあるだろう。――――――――――（２）
球の体積は、積分で（省略）、４πｒ^３／３ ――――（３）
１．
順序が逆のような気もするし、自信もないのですが、・・・
問題：
１．半円の重心
２．（１／４）円の重心
解答例：
回転体の体積についての
「・・・（忘れた）？の定理」を用いる。
回転する平面図形の面積をＳ、
その重心と回転軸の距離をｐとすると、
重心の軌跡となる円周は、２πｐ
そして回転体の体積は、Ｓ×２πｐ ―――――――――（１）
また回転する平面図形に対称軸がある場合、
重心は対称軸の線上にあるだろう。――――――――――（２）
球の体積は、積分で（省略）、４πｒ^３／３ ――――（３）
１．
半円（半径ｒ）を直径を回転軸に
１回転すると球になる。
半円の重心と中心との、
即ち回転軸との距離をｐとすると
（１）より
球の体積
＝半円の面積×２πｐ
＝（πｒ^２／２）×２πｐ ――――――――――――（４）
（３）（４）より
（πｒ^２／２）×２πｐ＝４πｒ^３／３
π^２×ｒ^２×ｐ＝４πｒ^３／３
π・ｐ＝４ｒ／３ → ｐ＝４ｒ／３π ---（１の答え？）
２．
（１／４）円を半径ｒを軸に
１回転すると半球になる。
（３）より、半球の体積＝２πｒ^３／３ ――――――――（５）
（１／４）円の重心と半径、
即ち、回転軸との距離をｐとすると、
半球の体積＝（πｒ^２／４）×２πｐ ―――――――――（６）
（５）（６）より
（πｒ^２／４）×２πｐ＝２πｒ^３／３
π^２×ｒ^２×ｐ／２＝２πｒ^３／３
π×ｐ／２＝２ｒ／３ → ｐ＝４ｒ／３π
円の中心との距離は、ｐ√２＝４ｒ√２／３π ----（２の答え？）
重心の座標としては、（４ｒ／３π、４ｒ／３π）
（２０１１年０９月２７日）
（２０１１年０９月２７日）
（２０１３年０９月２８日、若干補足）
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何やら考えて、紙にボールペンでゴリゴリ書いていたら
以上のような記事になってしまいました。
間違っていたら、コメントいただければ幸いです。
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何やら考えて、紙にボールペンでゴリゴリ書いていたら
以上のような記事になってしまいました。
間違っていたら、コメントいただければ幸いです。
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