外接２４角形を求めるとき、
　
　角度１５度の三角関数は(４５－３０)から
　加法定理を用いて、また
　
tanθ=(1-cos2θ)/sin2θなどより、
　
　tan７.５°＝(√３－√２)(√２－１)
　
と割と綺麗な形になったので、それを使いました。
　
　３√２(√３－１)＜ π ＜２４(√３－√２)(√２－１)
　
という結果を得ました。
　
電卓(８桁なので不正確ですが)で計算すると
　
3.1058 < π < 3.1597
　
　　∴　３.１＜ π ＜３.１６
　
つまり、π≒３.１　までは正しいということになります。
ちなみに、不正確ですが、内接正１９２角形まで計算して
ようやく３.１４まで出てきました。
　
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　tan７.５°について
　二重√について
　分かっているつもりの範囲で
　・・・何も分かっちゃいないけれど・・・
　復習してみます・・・
　
　
　「　tan７.５°と二重√　について」
　
　復習として「πを２４角形で近似」の
　tan７.５°に補足します。
一般に加法定理（倍角定理）より一次化が可能。
（sinθ)^2　を、ここでは sin^2 θ と表すことにする。
　sin^2 θ＝（１－cos２θ)／２
　cos^2 θ＝（１＋cos２θ)／２
０°＜θ＜４５°の範囲で考えると
　sinθ＝√(（１－cos２θ)／２　）
　cosθ＝√(（１＋cos２θ)／２　）
∴tanθ＝√(（１－cos２θ)／（１＋cos２θ)　）――――①
また　tanθ＝（１－cos２θ）／sin２θとも。――――――②
（∵①の分母子に　√（１－cos２θ)　を掛ける。
　または検算として
　②の右辺＝（１－（１－２sin^2 θ）／２sinθcosθ
　＝２sin^2 θ／２sinθcosθ＝sinθ／cosθ
　＝tanθ＝左辺　）
そこで、まず加法定理より
　sin１５°＝sin（４５－３０）＝（√６－√２）／４　───③
　cos１５°＝cos（４５－３０）＝（√６＋√２）／４　───③
　
ゆえに②③を用いて
　tan７.５°＝（１－cos１５°）／sin１５°
　＝（１－（√６＋√２）／４）／（√６－√２）／４
　＝(４－√６－√２)／(√６－√２)
（分母子に（√６＋√２）を掛けて）
　＝(４－√６－√２)(√６＋√２)／４　――――――――――④
　＝（４√６－６－２√３＋４√２－２√３－２）／４
　＝（４√６－４√３＋４√２－８）／４
　＝√６－√３＋√２－２
　＝√３（√２－１）＋√２（１－√２）
　＝√３（√２－１）－√２（√２－１）
　＝(√３－√２)(√２－１)　
　tan７.５°＝(√３－√２)(√２－１)　・・・・・・・(答え)
　
①③を用いると
　tan７.５°＝√(（１－cos１５°)／（１＋cos１５°））
＝√(（１－（√６＋√２）／４)／(１＋（√６＋√２）／４））
＝√(（４－（√６＋√２）／(４＋（√６＋√２)　）
（分母子に（４－（√６＋√２）を掛けて）
＝√(（４－（√６＋√２））^２／（１６－（√６＋√２)^２））
＝（４－（√６＋√２））／√(１６－８－４√３）
＝（４－√６－√２）／√(８－４√３）―――――――――⑤
＝（４－√６－√２）／（√６－√２）――――――――――⑤
（分母子に（√６＋√２）を掛けて）
＝（４－√６－√２)(√６＋√２)／４
ここからの計算は④と同じになる。よって同じく
　tan７.５°＝(√３－√２)(√２－１)　・・・・・・・(答え)
　
※　ここで⑤の分母において
　二重√を外していることについて説明（？）：
一般に　√(Ａ±√Ｂ）＝√Ⅹ±√Ｙとして
Ⅹを求めることによって得られる恒等式
　√(Ａ±√Ｂ）＝√(（Ａ＋√(Ａ^２－Ｂ）)／２）
　　　　　　　　　±√(（Ａ－√(Ａ^２－Ｂ）)／２）―――⑥
において（Ａ^２－Ｂ）が平方数であるなら
√(Ａ＾２－Ｂ）は整数になるので、これをＣとおくと
√(Ａ±√Ｂ）＝√((Ａ＋Ｃ)／２）±√((Ａ－Ｃ)／２）―――⑥
というふうに二重√を外すことができる。
⑤においては
√(８－４√３）のＡ＝８，Ｂ＝１６×３＝４８だから
∴Ａ^２－Ｂ＝６４－４８＝１６＝４^２と
平方数になり√(Ａ^２－Ｂ）＝４＝Ｃであるから
⑥に当てはめると
√(８－４√３）＝√(（８＋４）／２)－√(８－４)／２）
　＝√６－√２　ということになりました。