重心について
重心のｘまたはｙ座標をひっくるめてＧｋで表すと
「シグマ（ｋ＝１～∞）Ｓｋ・Ｇｋ」
重心は、 ―――――――――――――――――――
「シグマ（ｋ＝１～∞）Ｓｋ」（つまり総面積）
ではないだろうか。・・・と
いきなり書くのは
自信がないからです。
（Ｓは面積、物理では質量ｍ・・・？）
１．三角形の重心Ｇ
重心のｘまたはｙ座標をひっくるめてＧｋで表すと
「シグマ（ｋ＝１～∞）Ｓｋ・Ｇｋ」
重心は、 ―――――――――――――――――――
「シグマ（ｋ＝１～∞）Ｓｋ」（つまり総面積）
ではないだろうか。・・・と
いきなり書くのは
自信がないからです。
（Ｓは面積、物理では質量ｍ・・・？）
１．三角形の重心Ｇ
重心Ｇのｘ座標は、頂点からの中線を２：１に分ける点だから、
（Ｘ２＋Ｘ３）／２＋（１／３）（Ｘ１－（Ｘ２＋Ｘ３）／２）
＝（Ｘ１＋Ｘ２＋Ｘ３）／３ ―――――――――――――――――（１）
ということで、ｙ座標も同様だから、
座標の平均値になるようだ。。――――――――――――――――（１）
２．しかし四角形の重心となると、そうはいかないようだ。
四角形の重心Ｇ
＝（Ｓ１・Ｇ１＋Ｓ２・Ｇ２）／（Ｓ１＋Ｓ２）――――――――（２）
となるようである。
ここでＧ１，Ｇ２は、それぞれのｘまたはｙ座標を示す。
３．（２）の例として
積分による回転体の体積Ｖは、
△ＡＢＣを回転させた体積の２倍だから
ＢＡは、ｙ＝ｘ＋３
ＢＣは、ｙ＝（－３／２）ｘ＋３ より、
Ｖ＝２×（∫(0-2)π（（ｘ＋３）^２）ｄｘ
－∫(0-2)π（（－３／２）ｘ＋３）^２）ｄｘ）
＝２π×∫(0-2)（（ｘ^２＋６ｘ＋９）
－（（９／４）ｘ^２－９ｘ＋９））ｄｘ
＝２π×∫(0-2)（（－５／４）ｘ^２＋１５ｘ）ｄｘ
＝２π［（－５／（４×３））ｘ^３＋（１５／２）ｘ^２］(0-2)
＝２π（（－５×８）／１２＋（１５×４）／２）
＝２π（－４０／１２ ＋ ３０）
＝２π（－１０／３ ＋ ３０）
＝２π（８０／３）＝（１６０／３）π ―――――――――――――（３）
次に、前の記事に使った回転体の体積を利用する。
具体的には、
図の四角形を回転軸で回転させたときの体積
＝図の四角形の面積×２π（回転軸と重心の距離ｐ）
＝積分で求めた図の四角形の体積
つまり「面積×重心の対称軸を中心とする円周」として求めると、
Ｖ＝５×４÷２×２πｐ＝２０πｐ ――――――――――――――――（４）
（３）（４）より （１６０／３）π＝２０πｐ
∴ ｐ＝ ８／３ ＝２．６６６・・・
ＡＢＣＤの重心Ｇ（２，ｐ）＝（２，８／３） ―――――――――（５）
ここで、
△ＡＢＤの重心Ｇ１（２，３＋２／３）＝（２，１１／３）
面積は △ＡＢＣ＝４
△ＢＣＤの重心Ｇ２（２，２）
面積は △ＢＣＤ＝６
ＡＢＣＤの重心Ｇを
４つの点の座標の平均と仮定すると、（２，１１／４）になり
（５）と異なるので、４点の平均とするのは誤りである・・・。
（２）の重心の求め方
（Ｓ１・Ｇ１＋Ｓ２・Ｇ２）／（Ｓ１＋Ｓ２） を用いると重心Ｇは、
（（４×２＋６×２）／（４＋６）、（４×１１／３＋６×２）／１０）
＝（２，（４４＋３６）／３０）
＝（２，８０／３０）＝（２，８／３）になり
これは（５）と一致するので、こちらのほうが正解である。
（２）を用いると、すべての四角形は、
例えば対角線をｘ軸にして、
４頂点のｘｙ座標が与えられることによって
四角形の重心の座標を４頂点のｘｙ座標の値で表すことが出来る。
（長い式になるので省略）
さらに次に
五角形は３つの三角形に分けられるので、
そのうち２つの三角形からなる四角形の重心を（２）より求めて
その四角形の重心と面積、また残りの三角形の重心と面積より
五角形の重心
＝（四角形の面積×四角形の重心座標
△ＡＢＣを回転させた体積の２倍だから
ＢＡは、ｙ＝ｘ＋３
ＢＣは、ｙ＝（－３／２）ｘ＋３ より、
Ｖ＝２×（∫(0-2)π（（ｘ＋３）^２）ｄｘ
－∫(0-2)π（（－３／２）ｘ＋３）^２）ｄｘ）
＝２π×∫(0-2)（（ｘ^２＋６ｘ＋９）
－（（９／４）ｘ^２－９ｘ＋９））ｄｘ
＝２π×∫(0-2)（（－５／４）ｘ^２＋１５ｘ）ｄｘ
＝２π［（－５／（４×３））ｘ^３＋（１５／２）ｘ^２］(0-2)
＝２π（（－５×８）／１２＋（１５×４）／２）
＝２π（－４０／１２ ＋ ３０）
＝２π（－１０／３ ＋ ３０）
＝２π（８０／３）＝（１６０／３）π ―――――――――――――（３）
次に、前の記事に使った回転体の体積を利用する。
具体的には、
図の四角形を回転軸で回転させたときの体積
＝図の四角形の面積×２π（回転軸と重心の距離ｐ）
＝積分で求めた図の四角形の体積
つまり「面積×重心の対称軸を中心とする円周」として求めると、
Ｖ＝５×４÷２×２πｐ＝２０πｐ ――――――――――――――――（４）
（３）（４）より （１６０／３）π＝２０πｐ
∴ ｐ＝ ８／３ ＝２．６６６・・・
ＡＢＣＤの重心Ｇ（２，ｐ）＝（２，８／３） ―――――――――（５）
ここで、
△ＡＢＤの重心Ｇ１（２，３＋２／３）＝（２，１１／３）
面積は △ＡＢＣ＝４
△ＢＣＤの重心Ｇ２（２，２）
面積は △ＢＣＤ＝６
ＡＢＣＤの重心Ｇを
４つの点の座標の平均と仮定すると、（２，１１／４）になり
（５）と異なるので、４点の平均とするのは誤りである・・・。
（２）の重心の求め方
（Ｓ１・Ｇ１＋Ｓ２・Ｇ２）／（Ｓ１＋Ｓ２） を用いると重心Ｇは、
（（４×２＋６×２）／（４＋６）、（４×１１／３＋６×２）／１０）
＝（２，（４４＋３６）／３０）
＝（２，８０／３０）＝（２，８／３）になり
これは（５）と一致するので、こちらのほうが正解である。
（２）を用いると、すべての四角形は、
例えば対角線をｘ軸にして、
４頂点のｘｙ座標が与えられることによって
四角形の重心の座標を４頂点のｘｙ座標の値で表すことが出来る。
（長い式になるので省略）
さらに次に
五角形は３つの三角形に分けられるので、
そのうち２つの三角形からなる四角形の重心を（２）より求めて
その四角形の重心と面積、また残りの三角形の重心と面積より
五角形の重心
＝（四角形の面積×四角形の重心座標
＋三角形の面積×三角形の重心座標）／五角形の面積）
＝（（Ｓ１＋Ｓ２）×（（Ｓ１・Ｇ１＋Ｓ２・Ｇ２）／（Ｓ１＋Ｓ２））
＋Ｓ３×Ｇ３）／（Ｓ１＋Ｓ２＋Ｓ３）
＝（Ｓ１×Ｇ１＋Ｓ２×Ｇ２＋Ｓ３×Ｇ３）／（Ｓ１＋Ｓ２＋Ｓ３）
（Ｇ１～３は重心のｘとｙの座標をひっくるめているので、
式は重心のｘ座標の式とｙ座標の式の２つになる。
今までのＧ１やＧ２を使った式も同様である。
つまり、Ｘ１～３、Ｙ１～３、を使う２つの式だが、
ｘ座標なら、Ｇ１→Ｘ１、などと置き換えるだけでよい。
＋Ｓ３×Ｇ３）／（Ｓ１＋Ｓ２＋Ｓ３）
＝（Ｓ１×Ｇ１＋Ｓ２×Ｇ２＋Ｓ３×Ｇ３）／（Ｓ１＋Ｓ２＋Ｓ３）
（Ｇ１～３は重心のｘとｙの座標をひっくるめているので、
式は重心のｘ座標の式とｙ座標の式の２つになる。
今までのＧ１やＧ２を使った式も同様である。
つまり、Ｘ１～３、Ｙ１～３、を使う２つの式だが、
ｘ座標なら、Ｇ１→Ｘ１、などと置き換えるだけでよい。
いちいち書くのは面倒なので省略した・・・失礼。）
このことから一般に、
ｎ角形は（ｎ－２）個の三角形に分割できるので、
ｎ角形の重心は、
「シグマ（ｋ＝１から（ｎ－２））Ｓｋ×Ｇｋ」／「シグマ（同左）Ｓｋ」
＝「シグマ（ｋ＝１から（ｎ－２））Ｓｋ×Ｇｋ」／全体の面積
（Ｓｋは、それぞれの三角形の面積、
Ｇｋは、それぞれの三角形の重心のｘまたはｙ座標とする。）
ということではなかろうかと考えたりします。・・・
冒頭の式は、有限のｎを無限大∞にしただけです。（汗）
（２０１１年０９月２９日、同日修正加筆）
このことから一般に、
ｎ角形は（ｎ－２）個の三角形に分割できるので、
ｎ角形の重心は、
「シグマ（ｋ＝１から（ｎ－２））Ｓｋ×Ｇｋ」／「シグマ（同左）Ｓｋ」
＝「シグマ（ｋ＝１から（ｎ－２））Ｓｋ×Ｇｋ」／全体の面積
（Ｓｋは、それぞれの三角形の面積、
Ｇｋは、それぞれの三角形の重心のｘまたはｙ座標とする。）
ということではなかろうかと考えたりします。・・・
冒頭の式は、有限のｎを無限大∞にしただけです。（汗）
（２０１１年０９月２９日、同日修正加筆）
（２０１１年０９月３０日、三角形のところ間違い修正）
