苦し紛れに答えが出てきたという問題・・
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数学サイト
http://blog.livedoor.jp/mazra627/
から
ＴＶ「たけしのコマ大数学科」より
2011年12月19日
第159回「Doing Math in English Part2」
A hexagon with consecutive sides of lengths 2,2,7,7,11 and 11 is inscribed in a circle.
Find the radius of the circle．
英語の問題である。嫌なんだが・・
問題：
円に内接する六角形がある。
その辺の長さは、２，２，７，７，１１，１１、の順である。
円の半径を求めなさい。
・・というふうな意味らしい・・
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数学サイト
http://blog.livedoor.jp/mazra627/
から
ＴＶ「たけしのコマ大数学科」より
2011年12月19日
第159回「Doing Math in English Part2」
A hexagon with consecutive sides of lengths 2,2,7,7,11 and 11 is inscribed in a circle.
Find the radius of the circle．
英語の問題である。嫌なんだが・・
問題：
円に内接する六角形がある。
その辺の長さは、２，２，７，７，１１，１１、の順である。
円の半径を求めなさい。
・・というふうな意味らしい・・
解答例：
求める円の半径を ｒ とする。
辺の長さが、２，２，７，７，１１，１１、の順ということは、
中心Ｏを頂点とする底辺２，７，１１の二等辺三角形が
それぞれ２つずつ並んで
円に内接して閉じている六角形ということになるから、
辺を入れ替えて、２，７，１１，２，７，１１、とすることが出来る。
図２のように
辺の長さ、２，７，１１、で半円になる。
ＡＢ＝２＝２×ｒ×ｓｉｎα
∴ ｓｉｎα＝１／ｒ ---------------（１）
ＢＣ＝７＝２×ｒ×ｓｉｎβ
∴ ｓｉｎβ＝７／２ｒ -------------（２）
ＣＤ＝１１＝２×ｒ×ｓｉｎγ
∴ ｓｉｎγ＝１１／２ｒ -----------（３）
α＋β＋γ＝９０°だから
γ＝９０°－（α＋β）
∴ ｓｉｎγ＝ｓｉｎ（９０°－（α＋β））
＝ｃｏｓ（α＋β） -----------（４）
（３）（４）より、
ｃｏｓ（α＋β）＝１１／２ｒ ---------（５）
また、（１）（２）より
ｃｏｓα＝√（１－ｓｉｎ^２ α）
＝√（１－（１／ｒ）^２） --------------（６）
同様に
ｃｏｓβ＝√（１－（７／２ｒ）^２） ------------（７）
加法定理より、
ｃｏｓ（α＋β）＝ｃｏｓα×ｃｏｓβ－ｓｉｎα×ｓｉｎβ
（１）（２）（５）（６）（７）を代入して、
めんどくさいのだが、
１１／２ｒ
＝√（１－（１／ｒ）^２）×√（１－（７／２ｒ）^２）
－（１／ｒ）×（７／２ｒ）
１１／２ｒ＋（１／ｒ）×（７／２ｒ）
＝√（１－（１／ｒ）^２）×√（１－（７／２ｒ）^２）
（１１／２ｒ＋７／２ｒ^２）^２
＝（１－（１／ｒ）^２）×（１－（７／２ｒ）^２）
１２１／４ｒ^２＋２×１１×７／４ｒ^３＋４９／４ｒ^４
＝１－１／ｒ^２－４９／４ｒ^２＋４９／４ｒ^４
両辺に、４ｒ^４ を掛けて
１２１ｒ^２＋１５４ｒ＋４９
＝４ｒ^４－４ｒ^２－４９ｒ^２＋４９
４ｒ^４－１７４ｒ^２－１５４ｒ＝０
半径ｒ＞０だから、両辺を２ｒで割ると
２ｒ^３－８７ｒ－７７＝０ -------------------------（８）
３次方程式である。`それだけでびびる・・
一般解法は本に書いてあったが、めちゃくちゃ面倒である。
覚えていない、やる気にならない。何かちょこちょこと
いじって因数分解できそうにもない。
・・・つまり、お手上げである。解けないと思った。
あと出来ることは、整数解がないかどうか調べることだけ・・
ということで、（８）より
ｒ（２ｒ^２－８７）＝７７ -----------------------（９）
ｒを正の整数とすると
７７＝１×７７＝７×１１ だから、
ｒ の取り得る値は、１，７，１１，７７、となるが、
ｒ＝１では負になり、ｒが１１と７７では右辺＞７７となる。
ｒ＝７のとき、
左辺＝７×（２×４９－８７）＝７×（９８－８７）
＝７×１１＝７７ -----（９）即ち（８）が成立。
整数解があった！ 半径ｒ＝７は解である。 ----------（１０）
（８）の左辺を（ｒ－７）で割って
つまり（８）は、
２ｒ^３－８７ｒ－７７
＝（ｒ－７）（２ｒ^２＋１４ｒ＋１１）＝０ ---------（１１）
と因数分解できることが分かった。
半径ｒ＞０なので
２ｒ^２＋１４ｒ＋１１＞０
∴ 半径ｒ＝７のみが解となる。 ------（答え）
（ 以上で十分なのだが、蛇足として、
２ｒ^２＋１４ｒ＋１１＝０ を解くと
ｒ＝（－１４±√（１４^２－４×２×１１））／４
＝（－１４±√（１９６－８８））／４
＝（－１４±√（１０８））／４＝（－７±√２７）／２）
＝（－７±３√３）／２＜０
つまり（８）＝（１１）の３次方程式は、
７と、（－７±３√３）／２ の３つの実数解を持つ。
半径としての正の答えは、7 のみ、ということになる。）
（２０１１年１２月２８日）
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整数解がなければ私は解けなかった・・
問題のある問題だとも思うのでありますが、
もっと簡単な解き方がありそうな気がします。・・わからん・・
コメントいただければ幸いです。
年末だというのに、いったい私は何して遊んでるんだろ・・
季節のポエムでも書きたいのだが・・無理か・・（嘆）
