苦し紛れに答えが出てきたという問題・・
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数学サイト
http://blog.livedoor.jp/mazra627/
から
TV「たけしのコマ大数学科」より
2011年12月19日
第159回「Doing Math in English Part2」
A hexagon with consecutive sides of lengths 2,2,7,7,11 and 11 is inscribed in a circle.
Find the radius of the circle.
英語の問題である。嫌なんだが・・
問題:
円に内接する六角形がある。
その辺の長さは、2,2,7,7,11,11、の順である。
円の半径を求めなさい。
・・というふうな意味らしい・・
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数学サイト
http://blog.livedoor.jp/mazra627/
から
TV「たけしのコマ大数学科」より
2011年12月19日
第159回「Doing Math in English Part2」
A hexagon with consecutive sides of lengths 2,2,7,7,11 and 11 is inscribed in a circle.
Find the radius of the circle.
英語の問題である。嫌なんだが・・
問題:
円に内接する六角形がある。
その辺の長さは、2,2,7,7,11,11、の順である。
円の半径を求めなさい。
・・というふうな意味らしい・・

解答例:
求める円の半径を r とする。
辺の長さが、2,2,7,7,11,11、の順ということは、
中心Oを頂点とする底辺2,7,11の二等辺三角形が
それぞれ2つずつ並んで
円に内接して閉じている六角形ということになるから、
辺を入れ替えて、2,7,11,2,7,11、とすることが出来る。
図2のように
辺の長さ、2,7,11、で半円になる。

AB=2=2×r×sinα
∴ sinα=1/r ---------------(1)
BC=7=2×r×sinβ
∴ sinβ=7/2r -------------(2)
CD=11=2×r×sinγ
∴ sinγ=11/2r -----------(3)
α+β+γ=90°だから
γ=90°-(α+β)
∴ sinγ=sin(90°-(α+β))
=cos(α+β) -----------(4)
(3)(4)より、
cos(α+β)=11/2r ---------(5)
また、(1)(2)より
cosα=√(1-sin^2 α)
=√(1-(1/r)^2) --------------(6)
同様に
cosβ=√(1-(7/2r)^2) ------------(7)
加法定理より、
cos(α+β)=cosα×cosβ-sinα×sinβ
(1)(2)(5)(6)(7)を代入して、
めんどくさいのだが、
11/2r
=√(1-(1/r)^2)×√(1-(7/2r)^2)
-(1/r)×(7/2r)
11/2r+(1/r)×(7/2r)
=√(1-(1/r)^2)×√(1-(7/2r)^2)
(11/2r+7/2r^2)^2
=(1-(1/r)^2)×(1-(7/2r)^2)
121/4r^2+2×11×7/4r^3+49/4r^4
=1-1/r^2-49/4r^2+49/4r^4
両辺に、4r^4 を掛けて
121r^2+154r+49
=4r^4-4r^2-49r^2+49
4r^4-174r^2-154r=0
半径r>0だから、両辺を2rで割ると
2r^3-87r-77=0 -------------------------(8)
3次方程式である。`それだけでびびる・・
一般解法は本に書いてあったが、めちゃくちゃ面倒である。
覚えていない、やる気にならない。何かちょこちょこと
いじって因数分解できそうにもない。
・・・つまり、お手上げである。解けないと思った。
あと出来ることは、整数解がないかどうか調べることだけ・・
ということで、(8)より
r(2r^2-87)=77 -----------------------(9)
rを正の整数とすると
77=1×77=7×11 だから、
r の取り得る値は、1,7,11,77、となるが、
r=1では負になり、rが11と77では右辺>77となる。
r=7のとき、
左辺=7×(2×49-87)=7×(98-87)
=7×11=77 -----(9)即ち(8)が成立。
整数解があった! 半径r=7は解である。 ----------(10)
(8)の左辺を(r-7)で割って

つまり(8)は、
2r^3-87r-77
=(r-7)(2r^2+14r+11)=0 ---------(11)
と因数分解できることが分かった。
半径r>0なので
2r^2+14r+11>0
∴ 半径r=7のみが解となる。 ------(答え)
( 以上で十分なのだが、蛇足として、
2r^2+14r+11=0 を解くと
r=(-14±√(14^2-4×2×11))/4
=(-14±√(196-88))/4
=(-14±√(108))/4=(-7±√27)/2)
=(-7±3√3)/2<0
つまり(8)=(11)の3次方程式は、
7と、(-7±3√3)/2 の3つの実数解を持つ。
半径としての正の答えは、7 のみ、ということになる。)
(2011年12月28日)
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整数解がなければ私は解けなかった・・
問題のある問題だとも思うのでありますが、
もっと簡単な解き方がありそうな気がします。・・わからん・・
コメントいただければ幸いです。
年末だというのに、いったい私は何して遊んでるんだろ・・
季節のポエムでも書きたいのだが・・無理か・・(嘆)