2012年10月 : ウソの国－詩と宗教：st5402jp

これは虚数についての初歩的な勘違いかもしれません・・
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愛が人間一人（独り）では成り立たず
人間関係が必要であるように
虚数単位　ｉ　も
実数との(演算)関係によって初めて
成り立つような気がしている・・
　
　　「ｉの定義（２）｣
　
２次方程式を解いていると、√の中が負になることがある。
それでも解ありとするために
自乗すると(－１)になる虚数単位を定義したのだろうけれど
　ｉ＝√(-１)　→　ｉ^２＝－１　―――――――――――――――（１）
と定義するだけでよいのだろうか・・√(－１)は依然、正体不明？？
特に前の記事｢√と虚数の計算｣
のような√の計算規則を導けるのだろうか
・・・と考えてしまう。
　
（１）の　ｉ＝√(－１)　という定義だけから
√(－３)＝ｉ×√３　が導けるだろうか。
　
１．　ｉ＝√(－１)の両辺に、√３　を掛けて
　　ｉ×√３＝√(－１)×√３＝√(－３)
　または、√(－３)＝√(－１)×√３＝ｉ×√(－３)
　しかし、ｉ＝√(－１)と定義しただけの段階では
　√ａ×√ｂ＝√ａｂ　が無条件に成り立つという証明はない。
　実際、前の記事｢√と虚数の計算｣に書いたように、
　ａ＜０、ｂ＜０のときは成り立たない。
　
２．√(－３)＝√(（ｉ^２）×３)＝ｉ×√３
　しかし、演算規則が定まっていない段階では、
　√(－３)＝√((±ｉ)^２×３)＝±ｉ×√３　という
　乱暴な計算も可能になりそうな気がする。
　
それで、定義としては間違っているのだろうけれど、
　
実数　ａ＞０　について
　　√(－ａ）＝ｉ×√ａ　としての　ｉ　―――――――――――――（２）
（　したがって、ａ＜０のときは√ａ＝√(－(－ａ)＝ｉ√(－ａ）　）
　
というふうに基本的な演算によって、ｉ　を定義したほうが
分かりやすいような気がする。そうすると、
前の記事｢√と虚数の計算｣の演算規則が導きやすい。
　
それによって１．の結果も成り立ち、
２．のパラドックスは(２)によって否定される。
また、ｉ＝√(－１)は、
（２）において、ａ＝１　と置いたときの結果ということになる。
　
正負の判断なく、√(－ａ）＝ｉ×√ａ　を使うことは出来ない
ということは前の記事｢√と虚数の演算｣に示したと思う。
√の中が負と分かっているとき、ｉを使う意味が生まれる。
√の中の正負が明らかでない未知数や任意の数などの場合は
　正の場合と負の場合に場合分けをする必要が生まれる。
　
　
※　さて、√の中が虚数の場合はどうだろう。実数のような
正負は問えなくなるので、私には、よく分からないのだが・・
例えば　√(－ｉ）については、自乗して(－ｉ）になる数ということならば、
（－ｉ）の絶対値は１だから、√(－ｉ）の絶対値も１、
（－ｉ）の偏角は（－（π／２）＋２ｎπ）だから（ｎは整数)
ドモアブルの定理またはオイラーの公式より、
偏角に(１／２)を掛けて
√(－ｉ）の偏角は、(－(π／４)＋ｎπ)となり、
複素平面上では、－(π／４)、(３／４)π
という２つの偏角を持つことになる。
これにサインとコサインを当てはめると、
√(－ｉ）＝±（１－ｉ）／√２　ということか・・（？？）
　
(２０１２年１０月３０日)
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虚数単位　ｉは、imaginary number で、
愛も、ある意味、imaginary（想像上の、仮想の）なのかもしれない。
虚数にこだわりながら分からず人間関係も乏しい私は、
この世界では、imaginary「虚」の人なのかもしれない。
このブログのタイトル｢ウソの国｣は、必ずしも
そういう意味ではなかったはずなのだが・・
　
そんなことを考えていた昨日、連絡があって
母が介護施設から職員に支えられながら
着替えなどを取りに日帰りの一時帰宅しました。

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すみません。あちこち修正しまくってます・・（汗、１１月７日現在）
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久しぶりのブログ更新は・・やっぱり数学か・・図もなく絵もなく花もなく
・・間違いはあるかもしれない・・年寄りの冷や水（冷や汗？）でございます。
　
　　「√と虚数の計算」
　
問題　：　ａ，ｂ　を実数として
　
　１．　√ａ×√ｂ＝√（ａｂ）
　
　２．　√（ａ／ｂ）＝√ａ／√ｂ　　は、成り立つか。
　
　
解答例？　：
　やってみたことの方針は･･
√の中は実数計算。
√の中が正なら、そのまま√？×√？、√？／√？への変換は可。
√（－Ｘ）＝ｉ√Ｘ、√Ｘ＝ｉ√（－Ｘ）は、Ｘの正負による。
（というのは、なんか変？？？・・２度重ねて使うと
√（－Ｘ）＝ｉ√Ｘ＝ｉｉ√（－Ｘ）＝－√（－Ｘ）？？？）――①（後述→この記事の下の部分）
ともかくも√の中が正になるように、ｉ　を使う。
　

　（※　以下の計算では、ａ＜０のとき、ｉ√ａ＝ｉｉ√（－ａ）＝－√（－ａ）、

　　ゆえに、√（－ａ）＝－ｉ√ａ　となる。　ｂ＜０，ａｂ＜０　のときについても同様。）

　
１．
（１）　ａ＞０、ｂ＞０　のとき　→　ａｂ＞０
　　√ａ×√ｂ＝√ａｂ　（実数計算なので成立。これが基本）
（２）　ａ＜０、ｂ＞０　のとき　→　ａｂ＜０，－ａ＞０
　　√ａ×√ｂ＝ｉ√（－ａ）×√ｂ
　　　　　　　＝ｉ√（－ａｂ）＝－ｉｉ√ａｂ＝√ａｂ　（成立）
（３）　ａ＞０、ｂ＜０　のとき　→　ａｂ＜０、－ｂ＞０
　　√ａ×√ｂ＝√ａ×ｉ√（－ｂ）
　　　　　　　＝ｉ√（－ａｂ）＝－ｉｉ√ａｂ＝√ａｂ　（成立）
（４）　ａ＜０、ｂ＜０　のとき　→　ａｂ＞０、－ａ＞０、－ｂ＞０
　　√ａ×√ｂ＝ｉ√（－ａ）×ｉ√（－ｂ）＝ｉｉ√（（－ａ）×（－ｂ））
　　　　　　　＝－√ａｂ≠√ａｂ　（不成立）
　　　　（４）の場合だけ不成立。
　
２．
（１）　ａ＞０，ｂ＞０　のとき　→　ａ／ｂ＞０
　　√（ａ／ｂ）＝√ａ／√ｂ　（実数計算なので成立。これが基本）

（２）　ａ＜０，ｂ＞０　のとき　→　ａ／ｂ＜０、－ａ＞０
　　√（ａ／ｂ）＝ｉ√（－ａ／ｂ）＝ｉ√－ａ／√ｂ＝－ｉｉ√ａ／√ｂ＝√ａ／√ｂ　（成立）
（３）　ａ＞０、ｂ＜０　のとき　→　ａ／ｂ＜０、－ｂ＞０
　　√（ａ／ｂ）＝ｉ√（ａ／－ｂ）＝ｉ√ａ／√－ｂ
　　　＝（ｉ^２／ｉ）×（√ａ／√－ｂ）＝（－１／ｉ）×（√ａ／√－ｂ）
　　　＝－√ａ／ｉ√－ｂ＝－√ａ／（－ｉｉ√ｂ）＝－√ａ／√ｂ≠√ａ／√ｂ　（不成立）
（４）　ａ＜０，ｂ＜０　のとき　→　ａ／ｂ＞０、－ａ＞０、－ｂ＞０

　　√（ａ／ｂ）＝√（－ａ／－ｂ）＝√（－ａ）／√（－ｂ）

　　　＝－ｉ√ａ／（－ｉ√ｂ）＝√ａ／√ｂ　（成立）
　　　　（３）の場合だけ不成立。
　
まとめると、
√ａ×√ｂ＝√（ａｂ）においては
　ａ，ｂ　が、ともに負のとき不成立。正しくは、－√ａｂ
√（ａ／ｂ）＝√ａ／√ｂにおいては、分子の　ａ　が正で、
　分母の　ｂ　が負のとき不成立。正しくは、－√ａ／√ｂ
というふうに、どちらも「－」が付く。・・・・・・・・・（答え？）
　
※　パラドックスの否定
　ｉ＝√（－１）＝√（－１／１）＝√（１／－１）
　　　（ここまでは正しいと思うが・・）
　　∴　√（－１）／１＝１／√（－１）として
　　　　　ｉ＝１／ｉ　→　ｉ^２＝１、また、－１＝１
　とするのは、２.の（３）、および（答え？）より、間違いだと分かる。
　√（１／－１）＝－√１／√－１＝－１／ｉ　となり
　結果として、ｉ＝－１／ｉ　→　ｉ^２＝－１　になるだけだ。
　
（２０１２年１０月１８日、同日一部修正）
（２０１２年１１月０６日、次の記事「ｉの定義（２）」より演算部分加筆修正）
（２０１２年１１月０７日、上の「※　パラドックスの否定」の部分など一部修正）
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ずっと前に書いた記事「ｉの定義」も分からなくなったが、
今回も①のような疑問が分からずにいる。ウィキペディアなどによると
　ｉ^２＝－１　←（同値？）→　ｉ＝±√－１
などと書いてあるが、同値が崩れるせいか・・それでも分からない。
疑問だらけのいい加減な記事で申し訳ありません。（・・暇潰し？嘆）
知っている人がいたら教えてくだされ。
また、間違っていたらコメントくださいませ。
　
実数では当たり前に成り立った計算が虚数では成り立たないことがある
・・私にとっては若い頃から、全く無理を通すアイなのであります。

　
　
（追加補足）
上の記事の中の　①のパラドックスを否定するために
私の考えられる範囲で補足してみます。
　ｉ＝√（－１）　として、記号をＸからｄに変更して、
　
　　√（－ｄ）＝ｉ√ｄ＝ｉｉ√（－ｄ）＝－√（－ｄ）　　？？？―――①
　
ここで、上の記事の、１．の（４）の場合より
　ａ＜０、ｂ＜０　のとき　→　ａｂ＞０、－ａ＞０、－ｂ＞０
　　√ａ×√ｂ＝ｉ√（－ａ）×ｉ√（－ｂ）
　　　　　　　＝（－１）×√（（－ａ）×（－ｂ））
　　　　　　　＝－√ａｂ　≠√ａｂ　　　　　　　　　―――②
　
ｄ＞０　のとき
　ｉ√（－ｄ）＝√（－１）×√（－ｄ）
　　（これは、②の場合に当てはまるので）
　　　　　　　＝－√（（－１）×（－ｄ））＝－√ｄ
　ゆえに　√ｄ＝－ｉ√（－ｄ）　
　　　　ｉ√ｄ＝－ｉｉ√（－ｄ）＝√（－ｄ）　≠－√（－ｄ）
　①の　２番目の等号が成り立たないので　①は不成立。
ｄ＜０　のとき
　ｉ√ｄ＝√（－１）×√ｄ
　　（これも、②の場合に当てはまるので）
　　　　＝－√（－ｄ）　ゆえに　√（－ｄ）＝－ｉ√ｄ　≠ｉ√ｄ
　①の　１番目の等号が成り立たないので、①は不成立。
以上より、ｄの正負にかかわらず　①のパラドックスは成り立たない。
　
（２０１２年１０月１９日、追加修正）

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つまり虚数に虚数を掛けると負になるということで、
これで少しはすっきりしたような、しないような・・失礼。

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