先の短い爺には
間に合わないくらい
微小は限りなく０に近づいて
微小が微小のままなら
消えてしまって跡形もないのだが
微小の無限和や
微小を微小で割るとき
無でも無限でもなく
明らかな形が
滑らかな曲線が
ときに現れて来て
労うようで
意地悪そうな微笑を浮かべて
紙とペンを持つ爺にも言うのです
「徒労、お疲れさま、先は長いよ」
ネットで検索して見たのは物理数学のサイトだったらしい。
積分式も ∫・・・ｄＶ とか書いてあって、体積で積分？と、
さっぱり分からなかったが、今考えてみると、
ｄＶは、微小な厚さを持つ断面の無限和という意味だったかもしれない。
でも、それを使いこなせないので、
やっぱり馴染みのある高校数学レベルで試みてみる。
今回は立体で、円錐と半球の重心を求めたい。
面の無限和とも言えそうだが、
極めて薄い微小な厚さを持つ断面の無限和
とも言えるだろう。
位置はどちらも ｘ 軸上にある。
今回は ｘｙ 座標 で計算しました。
Ｇ＝（厚さが微小な断面積×その位置）の無限和／（全体の体積） ――――（１）
ということになる。
（１）の式の「位置」を表すのは ｘ で、
断面積の微小な厚さが ⊿ｘ になるようだ。
（「扇形の重心を積分で」で重心と積分を勉強した分、前の扇形より少しは楽かもしれない？？）
問題１：半径 ｒ、高さ ｈ、円錐の重心
図１）
ｚ 軸 は 省略しているが、
重心が断面の円の中心であることは明らかなので
重心は ｘ 軸上にあり、
重心Ｇ（ｐ，０，０）とする。
ｙ＝（ｒ／ｈ）ｘ ――――――――――――――――――――（６）
これが断面の円の半径になる。
（１）の分子
つまり、厚さが微小な断面積×その位置の無限和、これをＫとすると、
その微小な部分は、⊿Ｋ となる。
厚さが ⊿ｘ の円柱の無限和とも言えるので、
⊿Ｋ ＝ π（（ｒ／ｈ）ｘ）^２・ｘ・⊿ｘ
（このまま（７）に持ってゆくこともできるらしいが）
⊿Ｋ／⊿ｘ ＝ （ π（ｒ／ｈ）ｘ）^２・ｘ
↓
↓ ⊿ｘ → ０ （右辺に⊿ｘがないので、そのまま）
↓
微分（ｄＫ／ｄｘ）＝ π（ｒ／ｈ）^２・ｘ^３
∴ Ｋ ＝ π（ｒ／ｈ）^２・∫「０～ｈ」ｘ^３ ｄｘ ――――――（７）
＝ π（ｒ／ｈ）^２・（ｈ^４）／４
＝ π（ｒ^２）（ｈ^２）／４ ―――――――――――――（８）
（８）が（１）の分子、分母は円錐の体積 ＝ ｈπｒ^２／３ ――――（９）
ゆえに、（８）／（９）の計算となり、
重心 ｘ 座標の ｐ ＝ （π（ｒ^２）（ｈ^２）／４）／（ｈπｒ^２／３）
＝ ３ｈ／４ ＝（３／４）ｈ
以上より、円錐の重心 Ｇ （（３／４）ｈ，０，０）
つまり、円錐の重心は、頂点から （３／４） ｈ のところにあり、
底面の円の中心から （１／４） ｈ のところにある。 ――――――――（答え１）
問題２：半径 ｒ の半球の重心
解答例２：
図２）
重心が断面の円の中心であることは明らかなので
重心は ｘ 軸上にあり、
重心Ｇ（ｐ，０，０）とする。
ｙ＝（ｒ／ｈ）ｘ ――――――――――――――――――――（６）
これが断面の円の半径になる。
（１）の分子
つまり、厚さが微小な断面積×その位置の無限和、これをＫとすると、
その微小な部分は、⊿Ｋ となる。
厚さが ⊿ｘ の円柱の無限和とも言えるので、
⊿Ｋ ＝ π（（ｒ／ｈ）ｘ）^２・ｘ・⊿ｘ
（このまま（７）に持ってゆくこともできるらしいが）
⊿Ｋ／⊿ｘ ＝ （ π（ｒ／ｈ）ｘ）^２・ｘ
↓
↓ ⊿ｘ → ０ （右辺に⊿ｘがないので、そのまま）
↓
微分（ｄＫ／ｄｘ）＝ π（ｒ／ｈ）^２・ｘ^３
∴ Ｋ ＝ π（ｒ／ｈ）^２・∫「０～ｈ」ｘ^３ ｄｘ ――――――（７）
＝ π（ｒ／ｈ）^２・（ｈ^４）／４
＝ π（ｒ^２）（ｈ^２）／４ ―――――――――――――（８）
（８）が（１）の分子、分母は円錐の体積 ＝ ｈπｒ^２／３ ――――（９）
ゆえに、（８）／（９）の計算となり、
重心 ｘ 座標の ｐ ＝ （π（ｒ^２）（ｈ^２）／４）／（ｈπｒ^２／３）
＝ ３ｈ／４ ＝（３／４）ｈ
以上より、円錐の重心 Ｇ （（３／４）ｈ，０，０）
つまり、円錐の重心は、頂点から （３／４） ｈ のところにあり、
底面の円の中心から （１／４） ｈ のところにある。 ――――――――（答え１）
問題２：半径 ｒ の半球の重心
解答例２：
図２）
ｚ 軸 は 省略しているが、
これも重心が断面の円の中心であることは明らかなので
重心Ｇ（ｐ，０，０）とする。
ｙ＝√（ｒ^２－ｘ^２） ―――――――――――――――――――――――（２）
これが断面の円の半径になる。
（１）の分子
つまり、厚さが微小な断面積×その位置の無限和、これをＫとすると、
その微小な部分は、⊿Ｋ となる。
厚さが ⊿ｘ の円柱の無限和とも言えるので、
⊿Ｋ ＝ π（√（ｒ^２－ｘ^２））^２・ｘ・⊿ｘ
（このまま（３）に持ってゆくこともできるらしいが）
⊿Ｋ／⊿ｘ ＝ π（ｒ^２－ｘ^２）・ｘ
↓
↓ ⊿ｘ → ０ （右辺に⊿ｘがないので、そのまま）
↓
微分（ｄＫ／ｄｘ）＝ π（ｒ^２－ｘ^２）・ｘ
＝ π（ｒ^２・ｘ－ｘ^３）
∴ Ｋ ＝ π∫「０～ｒ」π（ｒ^２・ｘ－ｘ^３）ｄｘ ――――――――（３）
＝ π [ ｒ^２・ｘ^２／２－ｘ^４／４ ]「０～ｒ」
＝ π（ｒ^４／２－ｒ^４／４）
＝πｒ^４／４ ―――――――――――――――――――――――（４）
（４）が（１）の分子で、分母は 半径ｒの半球の体積＝２πｒ^３／３ ―――（５）
ゆえに、（４）／（５）の計算になり、
重心 ｘ 座標の ｐ ＝ （πｒ^４／４）／（２πｒ^３／３）
＝ ３ｒ／８ ＝ （３／８）ｒ
以上より、半球の重心 Ｇ （（３／８）ｒ，０，０）
つまり、半球の重心は中心から半径の（３／８）のところにある。―――（答え２）
とても小さくて
どこへ行ったのだろう
とても小さくて心細そうだったのだけれど
傷心のうちに隠れて見えないのだろうか
闇の中に潜んでいるのか
遠くからの光に吸い込まれたのだろうか
光の中に散乱したのだろうか
大きさも重さもない点の存在が
広く広く果てもない波動に同期して
焦点に向かって終息したというのか
それとも収束と発散を
宇宙と木陰を
高慢と心貧しさを
一筋の清らかな
直線でも曲線でもなく
時空とも呼べないところへ
透き通ったまま通り抜けて行ったのだろうか
水とも火とも
あれは・・・と
名付けられる前に
（２０１３年０９月３０日）
これも重心が断面の円の中心であることは明らかなので
重心Ｇ（ｐ，０，０）とする。
ｙ＝√（ｒ^２－ｘ^２） ―――――――――――――――――――――――（２）
これが断面の円の半径になる。
（１）の分子
つまり、厚さが微小な断面積×その位置の無限和、これをＫとすると、
その微小な部分は、⊿Ｋ となる。
厚さが ⊿ｘ の円柱の無限和とも言えるので、
⊿Ｋ ＝ π（√（ｒ^２－ｘ^２））^２・ｘ・⊿ｘ
（このまま（３）に持ってゆくこともできるらしいが）
⊿Ｋ／⊿ｘ ＝ π（ｒ^２－ｘ^２）・ｘ
↓
↓ ⊿ｘ → ０ （右辺に⊿ｘがないので、そのまま）
↓
微分（ｄＫ／ｄｘ）＝ π（ｒ^２－ｘ^２）・ｘ
＝ π（ｒ^２・ｘ－ｘ^３）
∴ Ｋ ＝ π∫「０～ｒ」π（ｒ^２・ｘ－ｘ^３）ｄｘ ――――――――（３）
＝ π [ ｒ^２・ｘ^２／２－ｘ^４／４ ]「０～ｒ」
＝ π（ｒ^４／２－ｒ^４／４）
＝πｒ^４／４ ―――――――――――――――――――――――（４）
（４）が（１）の分子で、分母は 半径ｒの半球の体積＝２πｒ^３／３ ―――（５）
ゆえに、（４）／（５）の計算になり、
重心 ｘ 座標の ｐ ＝ （πｒ^４／４）／（２πｒ^３／３）
＝ ３ｒ／８ ＝ （３／８）ｒ
以上より、半球の重心 Ｇ （（３／８）ｒ，０，０）
つまり、半球の重心は中心から半径の（３／８）のところにある。―――（答え２）
とても小さくて
どこへ行ったのだろう
とても小さくて心細そうだったのだけれど
傷心のうちに隠れて見えないのだろうか
闇の中に潜んでいるのか
遠くからの光に吸い込まれたのだろうか
光の中に散乱したのだろうか
大きさも重さもない点の存在が
広く広く果てもない波動に同期して
焦点に向かって終息したというのか
それとも収束と発散を
宇宙と木陰を
高慢と心貧しさを
一筋の清らかな
直線でも曲線でもなく
時空とも呼べないところへ
透き通ったまま通り抜けて行ったのだろうか
水とも火とも
あれは・・・と
名付けられる前に
（２０１３年０９月３０日）
（２０１３年１０月０２日、若干修正）
