一の位から、桁の数値に、
１，３，２、－１、－３、－２、を掛けてゆく方法を
下記に示した。この６つの掛ける数は、循環する。
http://blogs.yahoo.co.jp/st5402jp/18488369.html
比較的に覚えやすいので、まあ、使えるかと思う。
(n+1)桁の整数Ａは、ＡnＡn-1・・・Ａ3Ａ2Ａ1Ａ0、
＝Ａｎ×１０^ｎ＋Ａn-1×１０^（ｎ－１）＋
・・・＋Ａ3×１０^３＋Ａ2×１０^２＋Ａ1×１０＋Ａ0
＝Σ（Ａn×１０^ｎ） と表される。
私の方法と違って、
もっと一般的に、一桁ずつの余りを足してゆく方法である。
そこでは、まず位を表す１０のｎ乗、つまり、１０^ｎを
１，１０，１００，１０００、・・
つまり、１０^０，１０^１，１０^２，１０^３、・・を
それぞれ７で割った余りを求める。
そこで例えば、１０００を７で割った余りは、
１００を７で割った余りに、１０を７で割った余りを掛ければよい
と言うようなやり方で余りを求めてゆく。
１０＾（ｋ－１）＝７Ｍ＋ａ、１０＝７＋３、とすると、
これらを掛けて、１０^ｋ
＝１０＾（ｋ－１）×１０＝（７Ｍ＋ａ）（７＋３）
＝７^２×Ｍ＋３×７Ｍ＋７×ａ＋３ａ
＝７の倍数＋３ａ、となり、余りは、３ａ、から求められる。
つまり、１０^ｋを７で割った余りは
１０^（ｋ－１）を割った余り×１０を割った余り３
＝３ａ、で求められることが分かる。このことを使って、
１は、７×０＋１として、余りは、１
１０は、７＋３として、余りは、３
１００は、１０で割った余りを２回かけて、３×３＝９＝７＋２、余りは、２
１０００は、
１００で割った余り×１０を割った余り＝３×２＝６＝７－１、余りは、―１
１０^４は、
１０００を割った余り×１０を割った余り＝（－１）×３＝－３、余りは、－３
１０^５は、
１０^４を割った余り×１０を割った余り
＝（－３）×３＝－９＝－７－２、余りは、－２
１０^６は、
１０^５を割った余り×１０を割った余り
＝（－２）×３＝－６＝－７＋１、余りは、１
１０^７は、
１０^６を割った余り×１０を割った余り＝１×３＝３、余りは、３、となり
余りが、１、となった時点で、そこからは、
計算過程が同じなので、１，３，２、－１、－３、－２、を繰り返す
ということが分かる。
ゆえに
整数Ａ＝Σ（Ａn×１０^ｎ）
＝Σ（Ａｎ×（（７で割った商）＋（７で割った余り）））
＝Σ（Ａｎ×（７Ｋｎ＋それぞれの桁の余り）） となるので、
＝Σ（Ａｎ×７Ｋｎ（７の倍数部分））＋Σ（Ａｎ×余り（倍数判定部分））
７の倍数部分を除いて、
倍数判定部分である「Σ桁の数Ａｎ×余り」だけを下１桁から表すと、
Ａ0×１＋Ａ1×３＋Ａ2×２＋Ａ3×（－１）＋Ａ4×（－３）＋Ａ5×（－２）＋・・
となって、このように、
１，３，２、－１、－３、－２、を循環して、
一桁ずつに掛けて、それらを足して、判定することが出来る。
この方法だと、７の場合に限らず、
上と同様の手順で、倍数判定をすることが出来そうです。
ネットでは、１３で割ったときの判定法が載っている。
倍数判定法の基本原理として、より一般的と言えるだろう。
（２０１６年０５月２８日）
